3. Use the value of the first integral \( I \) to evaluate the two given integrals. \( I=\int_{0}^{3}\left(x^{3}-4 x\right) d x=\frac{9}{4} \) a. \( \int_{0}^{3}\left(24 x-6 x^{3}\right) d x \) a. \( \int_{0}^{3}\left(24 x-6 x^{3}\right) d x=\frac{-27}{2} \) (Simplify your answer.) \( \int_{3}^{0}\left(4 x-x^{3}\right) d x \) b. \( \int_{3}^{0}\left(4 x-x^{3}\right) d x=\square \frac{9}{4} \) (Simplify your answer.)

3. find taylor series of (2 Points) * \( \begin{array}{l}f(x)=e^{x} \cos x \quad \text { at } x=0 \\ f(x)=1+x-\frac{2 x^{3}}{3!}+\ldots \\ f(x)=1+x-\frac{x^{3}}{3!}+\ldots \\ f(x)=1+x-\frac{x^{2}}{2!}+\ldots \\ f(x)=1+x-\frac{2 x^{2}}{2!}+\ldots\end{array} \)

5. Exprimer \( r \) en fonction de \( f \) et \( f^{\prime} \). Les fonctions \( r \) et \( \theta \) sont fixées ainsi pour la suite de la partie. (a) Montrer que \( \theta^{\prime}=-1+q \sin (\theta) \cos (\theta) \) (b) Montrer que \( r^{\prime}=q r \sin ^{2} \theta \). En déduire la monotonie de \( r \).

49) \( y=\sqrt{x} \quad f^{(3)} \)

5. Question (2 Points) * The coefficient of \( x \) in Maclurin's series \( \exp \) ansion of \( e^{\sin x} \) is equal to .... 2 3 0

Partie II- Comportement à l'infini des solutions de \( :(E): y^{\prime \prime}-\frac{1}{1+t^{2}} y^{\prime}+y=0 \) Soi \( f \) une solution non nulle de \( (E): y^{\prime \prime}-\frac{1}{1+t^{2}} y^{\prime}+y=0 \). On note \( q: t \in \mathbb{R}^{+} \mapsto \frac{1}{1+t^{2}} \). 3. Justifier à l'aide du théorème de Cauchy-Lipschitz, que pour tout \( t \in \mathbb{R},\left(f(t), f^{\prime}(t)\right) \neq(0,0) \). 4. En déduire qu'il existe deux applications \( r \in \mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}_{+}^{*}\right) \) et \( \theta \in \mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}\right) \) telles que \[ \forall t \in \mathbb{R}^{+}, f(t)=r(t) \cos (\theta(t)) \text { et } f^{\prime}(t)=r(t) \sin (\theta(t)) \text {. } \] 5. Exprimer \( r \) en fonction de \( f \) et \( f^{\prime} \). Les fonctions \( r \) et \( \theta \) sont fixées ainsi pour la suite de la partie. (a) Montrer que \( \theta^{\prime}=-1+q \sin (\theta) \cos (\theta) \) (b) Montrer que \( r^{\prime}=q r \sin 2 \). En déduire la monotonie de \( r \). (c) Etudier les variations de \( t \mapsto r(t) \exp (-\arctan (t)) \) et en déduire que \( 0 \leq r(t) \leq r(0) \exp (\operatorname{arctar} \) que \( r \) a une limite strictement positive en \( +\infty \). Démontrer que \( f \) et \( f^{\prime} \) sont bornées .