it \( x \) un nombre réel. 1. (a) Montrer que : \( \cos (\arctan (x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \). (b) Déduire que : \( \sin (\arctan (x))=\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{} \). 2. (a) Montrer que pour \( x>0: \arctan (x)+\arctan \left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2} \). (b) Calculer la limite : \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}}^{x}\left(\arctan \left(\frac{1}{x}\right)-\frac{\pi}{2}\right) \). 3. (a) Montrer que pour tout réel \( t \geq 0: t-\frac{t^{3}}{3} \leq \arctan (t) \leq t \). (b) Calculer la limite : \( \lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(1-x \arctan \left(\frac{1}{x}\right)\right) \).

Calcule el volumen de un sólido generado al rotar la región delimitada por \( y = x^{2} \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 1 \) alrededor del eje x.

Una sucesión puede expresarse como un límite. De esta manera el limite de la sucesión \( \frac{n}{n+1} \) es: \( \begin{array}{l}\text { a. } n /(n+1)=-1 \\ \text { b. } n /(n+1) \text { no existe } \\ \text { c. } n /(n+1)=1 \\ \text { d. } n /(n+1)=0\end{array} \)

\( \lim ( 2 + \frac { 2 } { n } ) ^ { m } \)

Una sucesión puede expresarse como un límite. De esta manera \( \frac{i n(n)}{n} \) es: \( \begin{array}{l}\text { a. }(\ln ) / n=-1 \\ \left.\text { b. }(\ln )^{n}\right) / n=1 \\ \text { c. }(\ln ,) / n=0 \\ \text { d. }(\ln ), n=\infty\end{array} \)

Determine the area between the curves \( y = x^2 \) and \( y = 4 - x^2 \) for the interval where they intersect.