(a) Montrer que \( \left(v_{n}\right) \) est une suite géométrique de raison \( \mathrm{q}=4 \) (b) Écrire \( v_{n} \) puis \( u_{n} \) en fonction de \( n \) C) Calculer en fonction de \( n: S_{n}=\sum_{k=1}^{n} v_{k} \) puis \( T_{n}=\prod_{k=1}^{n} v_{k} \) On considère la suite \( \left(u_{n}\right) \) définie par: \( u_{0}=2 e t(\forall n \in \mathbb{N}) ; u_{n+1}=\sqrt{6+u_{n}} \) 1 Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) ; 1<u_{n}<3 \) 2 Vérifier que \( :(\forall n \in \mathbb{N}) ; 3-u_{n+1}=\frac{1}{3+\sqrt{6+u_{n}}}\left(3-u_{n}\right) \)

Pour la suite \( \left(u_{n}\right) \) définie par \( u_{0} = 2 \) et \( u_{n+1} = \sqrt{6 + u_{n}} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \): 1. **Montrer que \( 1 < u_{n} < 3 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \):** - **Initialisation :** \( u_{0} = 2 \) vérifie \( 1 < 2 < 3 \). - **Hérédité :** Si \( 1 < u_{k} < 3 \), alors \( u_{k+1} = \sqrt{6 + u_{k}} \) vérifie \( 1 < u_{k+1} < 3 \). - **Conclusion :** Par récurrence, \( 1 < u_{n} < 3 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). 2. **Vérifier l'égalité \( 3 - u_{n+1} = \frac{1}{3 + \sqrt{6 + u_{n}}} (3 - u_{n}) \):** - Calculons \( 3 - u_{n+1} = 3 - \sqrt{6 + u_{n}} \). - Utilisons la rationalisation : \[ 3 - \sqrt{6 + u_{n}} = \frac{(3 - \sqrt{6 + u_{n}})(3 + \sqrt{6 + u_{n}})}{3 + \sqrt{6 + u_{n}}} = \frac{9 - (6 + u_{n})}{3 + \sqrt{6 + u_{n}}} = \frac{3 - u_{n}}{3 + \sqrt{6 + u_{n}}} \] - Ainsi, \( 3 - u_{n+1} = \frac{1}{3 + \sqrt{6 + u_{n}}} (3 - u_{n}) \). **Conclusion :** Les deux parties concernant la suite \( \left(u_{n}\right) \) sont prouvées.