On considère l'équation différentielle \[ (E): y^{\prime \prime}-\frac{1}{1+t^{2}} y^{\prime}+y=0 \] On admet le théorème de Cauchy-Lipschitz Pour tout \( \left(t_{0}, y_{0}, y_{0}^{\prime}\right) \in \mathbb{R}^{3} \), il existe une unique solution de \( (E) \) vérifiant : \( y\left(t_{0}\right)=y_{0} \) et \( y^{\prime}\left(t_{0}\right)=y_{0}^{\prime} \) Question : Justifier que si \( y \) est une solution de \( (E) \) vérifiant \( y\left(t_{0}\right)=y^{\prime}\left(t_{0}\right)=0 \), alors \( y \) est nulle Partie I : Théorème de Relèvement anominam

Let \( y=\sin x \cdot \cos x \), then \( d y= \)

If \( x^{3}+y^{3}=6 x y \), then find \( \frac{d y}{d x} \) and \( \frac{d^{2} y}{d x^{2}} \)

4. (15б) Выясните, является ли функция \( z=\ln \left(x^{2}+y^{2}+2 y+1\right) \) решением уравнения \( \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0 \)

Let \( x y+e^{x}-e^{y}=0 \), then \( y^{\prime}(0)= \)

22. a) If \( f(x)=\frac{|6-x|}{x-6} \), find \( \lim _{x \rightarrow 6+} f(x) \) (if exist.) b) Evaluate: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}} \) c) Evaluate: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left(2^{2}-1\right)}{1-\cos x} \) KMC Note d) Find \( \frac{d x}{d y} \) if \( x^{3}+y^{3}=3 a x^{2} y \) e) What is the derivative of \( \sec ^{-1} x \) with respect to ' \( x \) '.