Exercice 3 On note: \[ F=\left\{(x . y . z . t) \in \mathbf{R}^{4} \mid x+y+2 z+t=0\right\} \] 1. Démontrer que \( F \) est un sous-espace vectoriel de \( \mathbf{R}^{4} \). 2. Expliquer pourquoi \( \operatorname{dim}(F) \leqslant 3 \). 3. Donner une description paramétrique de \( F \). 4. Donner une base de \( F \) et déterminer sa dimension

4. Hallar los autovalores reales \( y \) autovectores de \( \mathbb{R}^{n}, y \) una base de au- tovectores cuando sea posible, de las matrices: a) \( \left(\begin{array}{rr}4 & 6 \\ -3 & -5\end{array}\right) \), b) \( \left(\begin{array}{cr}5 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right) \), c) \( \left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & 3\end{array}\right) \), d) \( \left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right) \)

Determina si la siguiente matriz es invertible y en caso de que sea cierto, encontrar su matriz inversa: \[ A=\left(\begin{array}{lll}0 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 3 & 1\end{array}\right) \]

Considere la frase: "Todos los estudiantes en el curso aprobaron el examen o realizaron el proyecto final." Donde: \( s(x): " x \) es estudiante en el curso." \( e(x) \) : "X aprobo el examen." \( p(x) \) : "x realizó el proyecto final." ¿Cuál de las siguientes expresiones en lógica proposicional representa correctamente esta afirmación? \( \forall x(s(x) \rightarrow(c(x) \vee p(x))) \) \( \forall x(s(x) \wedge(e(x) \vee p(x))) \) \( \exists x(s(x) \vee(e(x) \rightarrow p(x))) \) \( \exists x(s(x) \wedge(e(x) \vee p(x))) \)

Let \( T: R^{\wedge} 3 \rightarrow R^{\wedge} 3 \) be a linear transformation such that \( T(1,0,0)=(2,4,-1), T(0,1,0)=(1,3,-2), T(0,0,1)=(0,-2,2) \). Compute \( T(-2,4,-1) \).

Classi di equivalenza e insieme quoziente 368 Considera nell' insieme \( A=\{4,13,14,16,22,32,43,63) \) la relazione \( \mathcal{R} \) : \( a \mathcal{R} b \ldots \) la somma delle cifre di \( a \) é uguale alla somma delle cifre di \( b \). Verifica che \( \mathcal{R} \) è una relazione di equivalenza e determina le classi di equivalenza e l'insieme quoziente.