Soit \( A B C D \) un parallélogramme de centre \( O \) et \( E \) un point du plan tel que \( \overrightarrow{A E}=3 \overrightarrow{A B} \) soient I et J les projetés respectifs des points \( B \) et \( E \) sur la droite ( \( A C \) ) parallèlement à la droite (DE) 1) Construire une figure 2) Montrer que : \( \overrightarrow{A I}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A J} \) 3) a) Montrer que \( O \) est le milieu de [IJ] b) En déduire que : \( A J=I C \)

1) **Construction de la figure**: - Dessine un parallélogramme \( ABCD \) avec \( O \) comme centre. - Place le point \( E \) tel que \( \overrightarrow{AE} = 3 \overrightarrow{AB} \). - Trace la droite \( AC \) et la droite \( DE \). - Identifie les projections \( I \) et \( J \) des points \( B \) et \( E \) sur \( AC \) parallèlement à \( DE \). 2) **Montrer que \( \overrightarrow{A I} = \frac{1}{3} \overrightarrow{A J} \)**: - Utilise les vecteurs pour exprimer \( \overrightarrow{A I} \) et \( \overrightarrow{A J} \). - Montre que \( \overrightarrow{A I} = \frac{1}{3} \overrightarrow{A J} \). 3) **a) Montrer que \( O \) est le milieu de [IJ]** - Utilise la propriété que \( O \) est le centre du parallélogramme. - Prouve que \( \overrightarrow{O} = \frac{\overrightarrow{I} + \overrightarrow{J}}{2} \). 4) **b) En déduire que \( AJ = IC \)** - Puisque \( O \) est le milieu de \( [IJ] \), on a \( \overrightarrow{A J} = \overrightarrow{I C} \). - Cela signifie que \( AJ = IC \). **Conclusion**: La figure est construite correctement, et les relations vectorielles et géométriques sont démontrées pour obtenir \( AJ = IC \).