5. Exprimer $$ r $$ en fonction de $$ f $$ et $$ f^{\prime} $$. Les fonctions $$ r $$ et $$ heta $$ sont fixées ainsi pour la suite de la partie. (a) Montrer que $$ heta^{\prime}=-1+q \sin ( heta) \cos ( heta) $$ (b) Montrer que $$ r^{\prime}=q r \sin ^{2} heta $$. En déduire la monotonie de $$ r $$. (c) Etudier les variations de $$ t \mapsto r(t) \exp (-\arctan (t)) $$ et en déduire que $$ 0 \leq r(t) \leq r(0) \exp $$ (arctar que $$ r $$ a une limite strictement positive en $$ +\infty $$.

Question

5. Exprimer $$ r $$ en fonction de $$ f $$ et $$ f^{\prime} $$. Les fonctions $$ r $$ et $$ 	heta $$ sont fixées ainsi pour la suite de la partie. (a) Montrer que $$ 	heta^{\prime}=-1+q \sin (	heta) \cos (	heta) $$ (b) Montrer que $$ r^{\prime}=q r \sin ^{2} 	heta $$. En déduire la monotonie de $$ r $$. (c) Etudier les variations de $$ t \mapsto r(t) \exp (-\arctan (t)) $$ et en déduire que $$ 0 \leq r(t) \leq r(0) \exp $$ (arctar que $$ r $$ a une limite strictement positive en $$ +\infty $$.

Wyatt Cummings · Accepted Answer

$$ r $$ est une fonction croissante et bornée entre 0 et $$ r(0) \exp(\arctan(t)) $$. En $$ +\infty $$, $$ r $$ tend vers une limite strictement positive.

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