\begin{tabular}{l} Considérons la fonction numérique $$ f $$ de la variable \ réelle $$ x $$ définie sur $$ \mathbb{R} $$ par : $$ f(x)=\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+3} $$ \ 1. a) Montrer que: : $$ f^{\prime}(x)=\frac{x}{2 \sqrt{x^{2}+3}} $$ pour tout \ $$ x \geq 0 $$, puis dresser le tableau de variations de la \ fonction $$ f $$ sur $$ \mathbb{R} $$. \ a) Montrer que : $$ f([0 ; 1] \subset[0 ; 1[ $$. \ \hline 2. a) Résoudre dans $$ \mathbb{R} $$ l'équation $$ (E) $$ : $$ f(x)=x $$. \ b) Montrer que : $$ f(x)x $$ pour tout élément \ $$ x $$ de l'intervalle $$ [0 ; 1[ $$. \end{tabular}

Question

\begin{tabular}{l} Considérons la fonction numérique $$ f $$ de la variable \ réelle $$ x $$ définie sur $$ \mathbb{R} $$ par : $$ f(x)=\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+3} $$ \ 1. a) Montrer que: : $$ f^{\prime}(x)=\frac{x}{2 \sqrt{x^{2}+3}} $$ pour tout \ $$ x \geq 0 $$, puis dresser le tableau de variations de la \ fonction $$ f $$ sur $$ \mathbb{R} $$. \ a) Montrer que : $$ f([0 ; 1] \subset[0 ; 1[ $$. \ \hline 2. a) Résoudre dans $$ \mathbb{R} $$ l'équation $$ (E) $$ : $$ f(x)=x $$. \ b) Montrer que : $$ f(x)>x $$ pour tout élément \ $$ x $$ de l'intervalle $$ [0 ; 1[ $$. \end{tabular}

Gordon Wells · Accepted Answer

Pour la fonction $$ f(x) = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + 3} $$: 1. **Dérivée** : $$ f'(x) = \frac{x}{2\sqrt{x^2 + 3}} $$ pour $$ x \geq 0 $$. 2. **Tableau de variations** : $$ f $$ est croissante sur $$ [0, +\infty) $$, de $$ \frac{\sqrt{3}}{2} $$ à $$ +\infty $$. 3. **Intervalle** : $$ f([0, 1]) \subset [0, 1[ $$. 4. **Équation** : $$ f(x) = x $$ a la solution $$ x = 1 $$. 5. **Inégalité** : $$ f(x) > x $$ pour tout $$ x \in [0, 1[ $$.

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