Fitzgerald Gibson
10/02/2023 · Junior High School
\begin{tabular}{l} Considérons la fonction numérique \( f \) de la variable \\ réelle \( x \) définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f(x)=\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+3} \) \\ 1. a) Montrer que : \( f^{\prime}(x)=\frac{x}{2 \sqrt{x^{2}+3}} \) pour tout \\ \( x \geq 0 \), puis dresser le tableau de variations de la \\ fonction \( f \) sur \( \mathbb{R} \). \\ a) Montrer que : \( f([0 ; 1[\subset[0 ; 1[ \). \\ \hline 2. a) Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation \( (E): f(x)=x \). \\ b) Montrer que : \( f(x)>x \) pour tout élément \\ \( x \) de l'intervalle \( [0 ; 1[ \). \end{tabular}
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Pour la fonction \( f(x) = \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + 3} \):
1. **Dérivée** : \( f'(x) = \frac{x}{2 \sqrt{x^{2} + 3}} \) pour \( x \geq 0 \).
2. **Tableau de variations** :
- Croissante sur \( [0, +\infty) \).
- Valeur minimale à \( x = 0 \) : \( \frac{1}{2} \sqrt{3} \).
- Limite à \( +\infty \) : \( +\infty \).
3. **Image de l'intervalle** : \( f([0 ; 1[) \subset [0 ; 1[ \).
4. **Résolution de l'équation \( f(x) = x \)** : \( x = 1 \).
5. **Inégalité** : \( f(x) > x \) pour tout \( x \in [0 ; 1[ \).
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