The following limit represents \( f^{\prime}(a) \) for some function \( f \) and some value a. a. Find the simplestrfunction \( f \) and a number \( a \). b. Determine the value of the limit by finding \( f^{\prime}(a) \). \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{60}-1}{x-1} \)

El valor de una máquina de construcción varía con el tiempo de manera exponencial de acuerdo a la expresión \( V(t)=50000 \cdot 2^{-0.2 t} \) donde \( t \) se mide en años y \( V \) en millones. El cambio que tiene el valor de la máquina desde que sale del concesionario al cabo de 5 años de uso es:

13- Resolva o problema de valor inicial \( y^{\prime \prime}- \) \( \begin{array}{l}y^{\prime}+y=t e^{t}+4 ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=1\end{array} \)

12- Resolva o problema de valor inicial \( y^{\prime \prime}+ \) \( 8 y^{\prime}-9 y=0 ; y(1)=1 ; y^{\prime}(1)=0 \)

7. Una compañía estima que si se gastan \( x \) miles de dólares en el marketing de cierto producto, entonces \( Q(x) \) miles de unidades del producto se venderán, donde \( Q(x)=\frac{7 x}{27+x^{2}} \). ¿Para qué valor de \( x \) se minimizará la tasa de ventas?.

El punto sobre la gráfica de la curva \( y^{3}=x^{2} \) donde la recta tangente es perpendicular a la recta \( y+3 x-5=0 \), son \( \begin{array}{l}\text { a. }(1,1) \\ \text { b. }(8,4) \\ \text { c. }(0,0) \\ \text { d. }(4,8)\end{array} \)