\( \int ( x ) a x + 8 ) ^ { 2 } \cos x + 2 x \)

DEVELOPPEMENTS LIM EXERCICE I Calculer les développements limités de la fonctio 1) \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{3-x}} \) à l'ordre 3 , au voisinage \( \left.2^{\circ}\right) f(x)=\sqrt{x} \), à l'ordre 3 , au voisinage de 2 \( \left.3^{\circ}\right) f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x}} \), à l'ordre 3 , au voisinage 4) \( f(x)=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} \), à l'ordre 4 , au \( \left.5^{\circ}\right) f(x)=(\ln (1+x))^{2} \), a lordre 4, au voisin 6) \( f(x)=\frac{1}{(x+1)(x-2)} \), à l'ordre 3 , au vo 7) \( f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}+2 x+2} \), à l'ordre 3 , au voisi 8) \( f(x)=\frac{\ln (1+x)}{1-x} \), à l'ordre 4 , au voisina 9) \( f(x)=\frac{\sin x}{x}-\frac{x}{e^{x}-1} \), à l'ordre.4, au v \( 10^{\circ} \) ) \( f(x)=\ln \left(\frac{1}{\cos x}\right) \), à l'ordre 4 , au vois 11.) \( f(x)=\operatorname{Arccos}\left(\frac{1+x}{2+x}\right) \), à l'ordre 2 , a 12.) \( f(x)=(1+\sin x)^{\cos x} \), à l'ordre 4, aul 13 ) \( f(x)=\operatorname{Artan} \sqrt{\frac{1+x}{2+x}} \), à l'ordre 2, au 14 ) \( f(x)=\operatorname{Argsh}\left(1+2 x+3 x^{2}\right) \), à l'ordr 15 ) \( f(x)=\sqrt{\tan x} \), à l'ordre 3 , au voisina EXERCICE II A l'aide des développements limités, calculer \[ \begin{array}{l} \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(\operatorname{Arcin} x)^{2}}\right) \\ \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\ln (1+x)}\right) \\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{\operatorname{Arctan}(1+x)-\operatorname{Arctan}(1-x))} \\ \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{\sin x}} \quad \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\cos x}{\ln (1+x)} \end{array} \]

What is the solution to the differential equation \( \frac{d y}{d x}+x y=x, y(0)=-6 ? \)

\[ f(x)=\left\{\begin{array}{c} x^{2}+3 x-4, \text { if }-3<x \leq 1 \\ 2 x+3, \text { if } 1<x \end{array}\right. \] Find, i/,f(-1) ii/, f(32) iii/.f(-10) b) Given that \( f(x)=3 x-1, g(x)=\sqrt{2 x-1} \) and \( h(x)=2 x^{2}+3 x \), find i//hog \( (x) \), ii//hogof \( (x) \) c) Given function, \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{3 x-7}{x+2} \), Determine the

20. \( \int x \tan ^{2} x d x \)

The volume of a cylindrical tank needs to be 500 liters. How can you determine the radius and height that minimize the material required for the tank's construction?