EXERCICE 1 Sans calculatrice, calculer les nombres sui- vants : \( C_{7}^{5} ; C_{20}^{1} ; C_{5}^{4} ; A_{4}^{3} ; A_{20}^{1} ; A_{5}^{2} \). 1. A l'aide d'une calculatrice, donner: \( C_{10}^{5} ; C_{15}^{4} ; C_{13}^{6} ; A_{10}^{3} ; A_{20}^{4} ; A_{15}^{2} \). 2. Résoudre l'équation suivante dans N \( A_{n}^{2}=6 \) 3. Développer les produits suivants: \( (x+1)^{4} ;(1-x)^{3} ;(2 x+3)^{3} \)

**EXERCICE 1** --- **1. Calculs sans calculatrice :** - \( C_{7}^{5} = 21 \) - \( C_{20}^{1} = 20 \) - \( C_{5}^{4} = 5 \) - \( A_{4}^{3} = 24 \) - \( A_{20}^{1} = 20 \) - \( A_{5}^{2} = 20 \) --- **2. Calculs avec calculatrice :** - \( C_{10}^{5} = 252 \) - \( C_{15}^{4} = 1365 \) - \( C_{13}^{6} = 1716 \) - \( A_{10}^{3} = 720 \) - \( A_{20}^{4} = 116280 \) - \( A_{15}^{2} = 210 \) --- **3. Résolution de l'équation :** \[ A_{n}^{2} = 6 \] Solution : \( n = 3 \) --- **4. Développements :** - \( (x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \) - \( (1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3 \) - \( (2x + 3)^3 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 \)