MAS182 - Applied Mathematics 13. Final Examination - S1 2021 The water content \( W(t) \) (measured in grams) in the cheese is governed by the differential equation \[ \frac{d W}{d t}=-(W-100)^{2} \] with initial condition \( W(0)=200 \mathrm{~g} \) and time is measured in hours.

5. Dimostrare che la funzione \[ f(x)=e^{-x}-\log x \] è invertibile su \( (0,+\infty) \) e che la sua inversa è continua.

\( F ( x ) = \int _ { x } ^ { x ^ { 2 } } e ^ { t ^ { 7 } } d t \)

\( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot ( 2 n - 1 ) } { 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot ( 3 n - 1 ) } \)

Find \( \int_{C} \bar{z} d z \), where \( C \) is a semicizcle \( |z|=1 \)

\( f : R ^ { 2 } \rightarrow R , f ( x , y ) = 2 x ^ { 2 } + 3 x y + 4 y ^ { 2 } - 5 x + 2 y + 2024 \)