Exercie01: Soit \( f \) une fonction définie sur \( [-1 ;+\infty[ \) par : \( f(x)=x \sqrt{x+1} \) 1) Montrer que \( f \) admet une fonction sur \( [-1 ;+\infty[ \) 2) Vérifier que pour tout \( x \in\left[-1 ;+\infty\left[: f(x)=\sqrt{x+1}^{3}-\sqrt{x+1}\right.\right. \) 3)Déterminer la primitive \( F \) de la fonction \( f \) sur \( \left[-1 ;+\infty\left[\right.\right. \) tel que \( F(0)=\frac{1}{15} \).

**Exercice 01 :** Soit \( f(x) = x \sqrt{x+1} \) définie sur \( [-1 ; +\infty[ \). --- 1. **Dérivabilité de \( f \) sur \( [-1 ; +\infty[ \) :** \( f(x) \) est le produit de \( x \) et \( \sqrt{x+1} \). Les deux fonctions sont dérivables sur \( (-1, +\infty) \), et \( f \) est dérivable sur \( [-1 ; +\infty[ \). 2. **Égalité \( f(x) = (\sqrt{x+1})^{3} - \sqrt{x+1} \) :** En calculant \( (\sqrt{x+1})^{3} - \sqrt{x+1} \), on obtient \( x \sqrt{x+1} = f(x) \). 3. **Primitive \( F \) de \( f \) avec \( F(0) = \frac{1}{15} \) :** La primitive est \( F(x) = \frac{2}{5} (x+1)^{5/2} - \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} + \frac{1}{3} \). **Conclusion :** - \( f \) est dérivable sur \( [-1 ; +\infty[ \). - \( f(x) = (\sqrt{x+1})^{3} - \sqrt{x+1} \) pour tout \( x \in [-1 ; +\infty[ \). - La primitive \( F(x) \) de \( f \) avec \( F(0) = \frac{1}{15} \) est \( F(x) = \frac{2}{5} (x+1)^{5/2} - \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} + \frac{1}{3} \).