3. \( \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=4 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \quad 0<x<\pi, \quad t>0 \) \( u(0, t)=u(\pi, t)=0, \quad t>0 \) \( u(x, 0)=x^{2}(\pi-x), \quad 0<x<\pi \) \( \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)=0, \quad 0<x<\pi \)

4. (15б) Выясните, является ли функция \( z=\ln \left(x^{2}+y^{2}+2 y+1\right) \) решением уравнения \( \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0 \)

\( \left. \begin{array} { l }{ \frac { d } { d x } ( x ^ { 2 } \sin ^ { 2 } x ^ { 2 } ) } \\ { = x ^ { 2 } \frac { d } { d x } ( \sin ^ { 2 } x ^ { 2 } ) + \sin ^ { 2 } x ^ { 2 } \frac { d } { d x } ( x ^ { 2 } ) } \\ { = x ^ { 2 } \frac { d } { d x } ( \sin x ) ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } x ^ { 2 } \frac { d } { d x } ( x ^ { 2 } ) } \\ { = x ^ { 2 } ( 2 \cos x ) + \sin ^ { 2 } x ^ { 2 } 2 x } \\ { = 2 x ^ { 2 } \cos x + 2 x \sin ^ { 2 } x ^ { 2 } } \end{array} \right. \)

(vi) \( \mathrm{L}^{-1}\left\{\tan ^{-1} \frac{1}{\mathrm{p}}\right\}= \)

a) \( D[(1-x) \sqrt{1+x}] \)

\( f(x)=\left\{\begin{array}{cl}(1+2 x)^{\frac{1}{x}} & \text { if } x \neq 0 \\ e^{2} & \text { if } x=0\end{array}\right. \)