Esercizio 4. Dimostrare che, data una matrice $$ A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $$, allora $$ \operatorname{det}(-A)=(-1)^{n} \operatorname{det}(A) $$ Si può dimostrare una formula analoga per $$ \operatorname{det}(\alpha A), \operatorname{con} \alpha \in \mathbb{R} $$ ?

Question

Gibson Fowler · Accepted Answer

Per dimostrare che $$ \det(-A) = (-1)^{n} \det(A) $$ per una matrice quadrata $$ A $$ di ordine $$ n $$, si può utilizzare la proprietà del determinante che moltiplica uno scalare per una matrice. In particolare, $$ \det(\alpha A) = \alpha^{n} \det(A) $$. Sostituendo $$ \alpha = -1 $$, si ottiene $$ \det(-A) = (-1)^{n} \det(A) $$. Per una matrice generica $$ A $$ e uno scalare $$ \alpha $$, la formula $$ \det(\alpha A) = \alpha^{n} \det(A) $$ è valida, dimostrata attraverso la scomposizione in fattori elementari della matrice.

Esercizio 4. Dimostrare che, data una matrice \( A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \), allora \[ \operatorname{det}(-A)=(-1)^{n} \operatorname{det}(A) \] Si può dimostrare una formula analoga per \( \operatorname{det}(\alpha A), \operatorname{con} \alpha \in \mathbb{R} \) ?

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Esercizio 4. Dimostrare che, data una matrice \( A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \), allora \[ \operatorname{det}(-A)=(-1)^{n} \operatorname{det}(A) \] Si può dimostrare una formula analoga per \( \operatorname{det}(\alpha A), \operatorname{con} \alpha \in \mathbb{R} \) ?

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