(a) Find \( \int \frac{x+2}{x^{2}+2 x-3} \mathrm{~d} x \) (b) Find \( \int 2 x \sin x \mathrm{~d} x \) (c) Using the substitution \( x=3 \sin \theta \), find the exact value of \( \int_{0}^{\frac{3}{2}} \sqrt{9-x^{2}} d x \) 9 (a) \( \frac{3}{4} \ln |x-1|+\frac{1}{4} \ln |x+3|+C \) or \( \frac{1}{2} \ln \left|x^{2}+2 x-3\right|+\frac{1}{4} \ln \left|\frac{x-1}{x+3}\right|+C \) (b) \( -2 x \cos x+2 \sin x+C \) (c) \( \frac{9}{8} \sqrt{3}+\frac{3}{4} \pi \)

Evaluate \( : \int \frac{x+3}{\sqrt{5-x^{2}-4 x}} \)

¿De \( \int \frac{x+1}{(x-2)(x-3)(x-1)} d x \) cuál es el planteamiento de las fracciones parciales? a. No es posible plantear fracciones para el proceso de la solución de la integral b. \( \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-2)}-\frac{C}{(x-3)} \) - c. \( \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-2)}+\frac{C}{(x+3)} \) - d. \( \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-2)}+\frac{C}{(x-3)} \) O e. \( \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x+2)}+\frac{C}{(x-3)} \)

f) Solve : \( \left(1+y^{2}\right) d x+x d y=\tan ^{-1} y d y \)

¿Cuál es el valor medio de \( f(x)=x^{3}+x^{2} \) en el intervalo \( \left[-\frac{1}{2}, 2\right] \) ? a. 3.54 b. 2.078 c. 7.76 d. 2.64

put \( z=\mathrm{Re}^{i \theta} \), then \( |z|=R \) Now, \( \left|\int_{\Gamma} f(z) d z\right| \leq \frac{\pi R}{\left(R^{2}-1\right)^{2}} \rightarrow 0 \) as \( R \rightarrow \infty \) Thus, the equation (1) becomes \( \lim _{R \rightarrow \infty} \int_{-R}^{R} f(x) d x+\lim _{R \rightarrow \infty} \int_{\Gamma} f(z) d z=\frac{\pi}{2} \) \( \Rightarrow \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x+0=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=\frac{\pi}{2} \)