Evaluate \( \frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f(t) d t \) and \( \frac{d}{d x} \int_{a}^{b} f(t) d t \) where a and b are constants \( \frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f(t) d t=\square \) (Simplify your answer)

\( \int \frac { 3 x - 1 } { \sqrt { 1 - x } + 2 } d \)

3. Sia \( f(x)=x^{7} e^{3 x} \). Allora si ha \( \begin{array}{l}\text { (a) } f^{(8)}(0)=0 \\ \text { (b) } f^{(7)}(0)=0 \\ \text { (c) } f^{(8)}(0)=3 \cdot 8! \\ \text { (d) } f^{(3)}(0)=8 \cdot 3! \\ \text { (e) } f^{(3)}(0)=24\end{array} \)

Sia \( f \in C^{\infty}(R) \) e sia \( f(x)=x^{3}(x+o(x)) \). Allora si ha (a) il polinomio di McLaurin di ordine 4 di \( f \) è \( x^{4} \) (b) \( x^{3} \) è il polinomio di McLaurin di \( f \) di ordine 4 (c) \( f(x)=o\left(x^{4}\right) \) (d) \( f^{(5)}(0) \) non esiste (e) nessuna delle altre affermazioni è corretta

La funzione \( f(x)=\sin \left(x^{4}\right)-\sinh \left(x^{4}\right) \) soddisfa \( \begin{array}{l}\text { (a) } f(x) \geq 0 \text { in un intorno di } x=0 \\ \text { (b) } f(x) \leq 0 \text { in un intorno di } x=0 \\ \text { (c) } f(x) \sim x^{4} \text { per } x \rightarrow 0 \\ \text { (d) } f(x)=0\left(x^{12}\right) \text { per } x \rightarrow 0 \\ \text { (e) nessuna delle altre risposte }\end{array} \)

Let \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \). Show that \( f \notin \mathcal{R}[a, b] \) if and only if there exists \( \varepsilon_{0}>0 \) such that for every \( n \in \mathbb{N} \) there exist tagged partitions \( \dot{\mathcal{P}}_{n} \) and \( \dot{\mathcal{Q}}_{n} \) with \( \left\|\dot{\mathcal{P}}_{n}\right\|<1 / n \) and \( \left\|\dot{\mathcal{Q}}_{n}\right\|<1 / n \) such that \( \left|S\left(f ; \dot{\mathcal{P}}_{n}\right)-S\left(f ; \dot{\mathcal{Q}}_{n}\right)\right| \geq \varepsilon_{0} \).