\( \int _ { 1 } ^ { 2 } \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 16 y ^ { 4 } } } d y \)

cice 2. On pose \( f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{n^{4}\left(1+x^{n}\right)} \) pour \( n \geq 1 \) et \( x \in[0,1] \). Etudier la convengence simple puis normale et cette série de fonctions (0 Montrer que sa somme \( S \) est dérivable sur \( [0,1] \) et écrire sa dérivée. Pour \( x \in[0,1] \), on pose \( g_{n}(x)=\int_{0}^{x} f_{n}(t) d t \). Montrer que la série de fo est uniformément convergente sur \( [0,1] \) et que sa somme est une fonction roissante.

X Exercice 28: Calculer les limites suivantes: \( \begin{array}{ll}\text { 1. } \lim _{x \rightarrow-\infty} \ln \left(\frac{x^{2}+x+1}{3+2 x^{2}}\right) & \text { 2. } \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^{3}-2}{x}\right) \\ \text { 3. } \lim _{\substack{x \rightarrow 2 \\ x<2}} \ln \left(\frac{x+1}{-x+2}\right) & \text { 4. } \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \ln \left(\frac{\sin x}{x^{2}+1}\right)\end{array} \)

Exercice 27: Calculer les limites suivantes : \( \begin{array}{ll}\text { 1. } \lim _{x \rightarrow 2} \ln (2-x) & \text { 2. } \lim _{x \rightarrow 1^{+}}\left(x^{2}-1\right) \ln (x-1) \\ \text { 3. } \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{3}-x\right) \ln x & \text { 4. } \lim _{x \rightarrow-1^{+}}\left(\frac{1}{x+1}+\ln (1+x)\right)\end{array} \)

Exercice 47 : Calculer les limites suivantes: \( \lim _{x \rightarrow+\infty} x(\ln (x+1)-\ln x) \) 2. \( \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x+\frac{\ln \left(x^{2}-x+2\right)}{x-1}\right) \) 3. \( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{2}-1-\ln \left(1-x^{3}\right)\right) \)

Prove that the sequence \( \left\langle\mathrm{S}_{n}\right\rangle \) where: \[ s_{n}=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots \ldots+\frac{1}{n!} \] is convergent.