Partie I : Théorème de Relèvement angulaire On donne $$ g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{C}^{*} $$ de classe $$ C^{k}, k \geq 2 $$ 1. Justifier l'existence d'une primitive $$ A $$ de $$ \frac{g^{\prime}}{g} $$, et montrer que $$ \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{C}, t \mapsto g(t) e^{-A(t)} $$ est constante. 2. On pose $$ g(t) e^{-A(t)}=K_{0} \in \mathbb{C}^{*} $$, en écrivant la fonction $$ A $$ sous la forme $$ A=B+\mathrm{i} C $$, où $$ B $$ et $$ C $$ sont des fonctions à valeurs réelles et $$ K_{0}=r_{0} e^{i \alpha} $$, justifier qu'existent $$ r \in \mathcal{C}^{k}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}_{+}^{*}\right) $$ et $$ \theta \in \mathcal{C}^{k}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}\right) $$ tels que : $$ \forall t \geq 0, g(t)=r(t) e^{i \theta(t)} $$

Question

Murray Barker · Accepted Answer

**Partie I : Théorème de Relèvement angulaire** 1. **Primitive et Constante :** - Existe une primitive $$ A $$ de $$ \frac{g^{\prime}}{g} $$. - La fonction $$ g(t) e^{-A(t)} $$ est constante sur $$ \mathbb{R}^{+} $$. 2. **Décomposition et Représentation :** - $$ A(t) $$ peut être écrit comme $$ B(t) + \mathrm{i} C(t) $$, où $$ B $$ et $$ C $$ sont des fonctions réelles de classe $$ C^{k} $$. - $$ g(t) $$ peut être exprimée sous la forme $$ r(t) e^{\mathrm{i} 	heta(t)} $$, avec $$ r \in \mathcal{C}^{k}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}_{+}^{*}ight) $$ et $$ 	heta \in \mathcal{C}^{k}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}ight) $$.

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