Esercizio 17.2 Sia $$ F $$ l'endomorfismo di $$ \mathbb{R}^{3} $$ associato alla matrice $$ A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 1 \ -3 & -2 & 0 \ 1 & 0 & -2\end{array} ight) $$ rispetto alla base canonica. (4) Scrivere l'espressione generale di $$ F $$. (i) Usando la definizione data, verificare che $$ F $$ è un endomorfismo simmetrico. (iii) Diagonalizzare $$ F $$ rispetto ad una base ortonormale di $$ \mathbb{R}^{2} $$ di autovettori per $$ F $$.

Question

Esercizio 17.2 Sia $$ F $$ l'endomorfismo di $$ \mathbb{R}^{3} $$ associato alla matrice $$ A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 1 \ -3 & -2 & 0 \ 1 & 0 & -2\end{array}ight) $$ rispetto alla base canonica. (4) Scrivere l'espressione generale di $$ F $$. (i) Usando la definizione data, verificare che $$ F $$ è un endomorfismo simmetrico. (iii) Diagonalizzare $$ F $$ rispetto ad una base ortonormale di $$ \mathbb{R}^{2} $$ di autovettori per $$ F $$.

Burgess Morrison · Accepted Answer

L'espressione generale di $$ F $$ è $$ F(x_1, x_2, x_3) = \left( x_1 - 3x_2 + x_3, -3x_1 - 2x_2, x_1 - 2x_3 \right) $$. $$ F $$ è un endomorfismo simmetrico perché la matrice associata $$ A $$ è simmetrica. Per diagonalizzare $$ F $$, trovare gli autovalori e autovettori di $$ A $$, ortonormalizzare gli autovettori e costruire la matrice diagonale e la matrice di cambiamento di base.

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