Integrate the given function. \( \int_{0}^{\pi / 4} 4 x \sec x \tan x d x \) \( \int_{0}^{\pi / 4} 4 x \sec x \tan x d x=\square \) (Round to four decimal places as needed.)

\( \int _ { e } ^ { v } \alpha \sqrt { 2 + v } \)

7. (15б) Выясните, является ли функция \( z=\ln \left(x^{2}+y^{2}+2 y+1\right) \) решением уравнения \( \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0 \)

f \( y=\frac{1+x}{1-x} \), find \( \frac{d y}{d x} \)

Вариант 18 (10б) Дайте определение линии уровня функции \( z=f(x, y) \). Запишите линию урові функции \( z=3 x-2 y+1 \), проходящую через точку \( \mathrm{A}(1,2) \).

\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 5 ^ { n } \cdot n ! } { n ^ { n } } = \)