Unilice el teorema de Green para evaluar la integral y, Verifique el resultado resolviendo la integral de linea mediante el método tradicional. donde C es la trayectoria que encierra la región plana cuyos vértices son \( (0,0),(1,0),(1,1) \) y \( (0,1) \) \[ \oint 4 y d x+3 x d y \]

\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 5 ^ { n } \cdot n ! } { n ^ { n } } = \)

f \( y=\frac{1+x}{1-x} \), find \( \frac{d y}{d x} \)

(10б) Дайте определение неявной функции двух переменных. Найдите частную произ водную по переменной х функции \( x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1 \).

7. (15б) Выясните, является ли функция \( z=\ln \left(x^{2}+y^{2}+2 y+1\right) \) решением уравнения \( \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0 \)

Q. 33. For the function \( u=\log \frac{x^{2}+y^{2}}{x y} \), prove that: \[ \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x} . \]