a) Enomine thif \( f(x, y)=\frac{x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, x \neq 0, y \neq 0 \) and \( f(0,0)=0 \) for contrmuity at \( (0,0) \).

Q. 33. For the function \( u=\log \frac{x^{2}+y^{2}}{x y} \), prove that: \[ \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x} . \]

\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 5 ^ { n } \cdot n ! } { n ^ { n } } = \)

f \( y=\frac{1+x}{1-x} \), find \( \frac{d y}{d x} \)

(20б) Найдите экстремум функции \( z=2 x+y \) при условии \( x^{2}+y^{2}=1 \).

Вариант 18 (10б) Дайте определение линии уровня функции \( z=f(x, y) \). Запишите линию урові функции \( z=3 x-2 y+1 \), проходящую через точку \( \mathrm{A}(1,2) \).