Gordon Cummings
09/07/2023 · High School
Soient a et b deux nombres réels tel que : \[ |a-1|<\frac{1}{2} \quad \text { et }\left|b-\frac{1}{2}\right|<\frac{1}{6} \] \( 1 / \) Montrer que : \( \frac{1}{2}<a<\frac{3}{2} \) et \( \frac{1}{3}<b<\frac{2}{3} \) 2/ Encadrer chacun des nombres : \( \mathrm{a}-\mathrm{b} \) et -3ab et \( \sqrt{a b} \). 3/ Développer \( (a+2)^{3} \) 4/ On pose \( \mathrm{A}=(a+2)^{3}-(6+\mathrm{a}) \mathrm{a}^{2} \) Vérifier que : \( \mathrm{A}=8+12 \mathrm{a} \), puis en déduire un encadrement de A .
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1. **Montrer que : \( \frac{1}{2} < a < \frac{3}{2} \) et \( \frac{1}{3} < b < \frac{2}{3} \)**
- Pour \( a \):
\[
|a - 1| < \frac{1}{2} \implies \frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}
\]
- Pour \( b \):
\[
\left| b - \frac{1}{2} \right| < \frac{1}{6} \implies \frac{1}{3} < b < \frac{2}{3}
\]
2. **Encadrer \( a - b \), \( -3ab \), et \( \sqrt{ab} \)**
- \( a - b \):
\[
-\frac{1}{6} < a - b < \frac{7}{6}
\]
- \( -3ab \):
\[
-3 < -3ab < -\frac{1}{2}
\]
- \( \sqrt{ab} \):
\[
\frac{1}{\sqrt{6}} < \sqrt{ab} < 1
\]
3. **Développer \( (a + 2)^3 \)**
\[
(a + 2)^3 = a^3 + 6a^2 + 12a + 8
\]
4. **Vérifier que \( \mathrm{A} = 8 + 12a \) et encadrer \( \mathrm{A} \)**
- Calcul de \( \mathrm{A} \):
\[
\mathrm{A} = (a + 2)^3 - (6 + a)a^2 = 8 + 12a
\]
- Encadrement de \( \mathrm{A} \):
\[
14 < \mathrm{A} < 26
\]
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