Utilizando el cambio de variable \( u=x y, v=\frac{y}{x} \) la integral \( \iint_{E} 4 x^{2} y^{2} d x d y \), donde E es la región del primer cuadrante acotada por \( x y=3, x y=8, y=x, y=6 x \) se transforma en:

3.3. MONOTONF SEQULNCES Example 3.3.5. Considen the seqnemee \( \left(x_{11}\right) \) telthed recuraively as it 1 and \[ x_{n-1}=\frac{1}{2} x_{n}+\frac{1}{4} \quad V n \geq 1 \] Prove that \( \left(x_{n}\right) \) converges and find the limet.

Definimos \( G \) como \( G(x)=2 g(x)-h(x)+8 \) \( G^{\prime}(3)= \)

If \( z=\tan (y+a x)+(y-a x)^{\frac{3}{2}} \), find the value of \( \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} \) (Aug-2021, Aug-2022)

Encontre a área entre as curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) \) no intervalo de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \).

\[ \text { Problème 2. } \] On considère la fonction \( f \) définie par \( : f(x)=(x+1) \sqrt{x} \) 1) Déterminer \( D_{f} \). 2) Calculer \( \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \) et \( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x} \) puis intérpreter géométriquement le résultat. 3) a)Etudier la dérivabilité de \( f \) à droite en \( a=0 \). b)Intérpréter géométriquement le résultat. 4) a)Montrer que : \( (\forall x \in] 0 ;+\infty[): f^{\prime}(x)=\frac{3 x+1}{2 \sqrt{x}} \) b) Dresser le tableau de variations de \( f \). c) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction \( f \) au point de l'abscisse \( x_{0}=1 \). 5) a) Montrer que \( \left(\forall x \in D_{f}\right): f^{\prime \prime}(x)=\left(\frac{3 x-1}{4 x \sqrt{x}}\right) \) b) Etudier le signe de f \( f^{\prime \prime}(x) \) pour tout \( x \) de \( D_{f} \). c) Montrer que \( f \) admet une point d'inflexion en déterminant