\begin{tabular}{l}\hline \( \mathbf{1}^{\boldsymbol{a}} \) Questão (0,6 ponto) - Em uma progressão aritmética \( \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots\right) \) sabe-se que \\ \( a_{3}+a_{5}+a_{9}=31 \) e que \( a_{2}+a_{4}+a_{7}+a_{12}=53 \). Determine: \\ \( \boldsymbol{a})(\mathbf{0 , 2}) \) o \( 2025^{\circ} \) termo da progressão. \end{tabular}

Para resolver o problema, vamos usar a definição de uma progressão aritmética (PA). Podemos expressar o termo geral da PA como: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \] onde \( a_1 \) é o primeiro termo e \( d \) é a razão da PA. Dado isso, temos: - \( a_3 = a_1 + 2d \) - \( a_5 = a_1 + 4d \) - \( a_9 = a_1 + 8d \) - \( a_2 = a_1 + d \) - \( a_4 = a_1 + 3d \) - \( a_7 = a_1 + 6d \) - \( a_{12} = a_1 + 11d \) Vamos usar as duas equações dadas: 1. \( a_3 + a_5 + a_9 = 31 \) Substituindo os termos: \[ (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 8d) = 31 \] Isso se simplifica para: \[ 3a_1 + 14d = 31 \quad \text{(Equação 1)} \] 2. \( a_2 + a_4 + a_7 + a_{12} = 53 \) Substituindo os termos: \[ (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 11d) = 53 \] Isso se simplifica para: \[ 4a_1 + 21d = 53 \quad \text{(Equação 2)} \] Agora temos um sistema de duas equações lineares: 1. \( 3a_1 + 14d = 31 \) 2. \( 4a_1 + 21d = 53 \) Podemos resolver esse sistema. Primeiro, vamos multiplicar a Equação 1 por 4 e a Equação 2 por 3 para igualar os coeficientes de \( a_1 \): \[ 12a_1 + 56d = 124 \quad \text{(Equação 3)} \] \[ 12a_1 + 63d = 159 \quad \text{(Equação 4)} \] Agora, subtraímos a Equação 3 da Equação 4: \[ (12a_1 + 63d) - (12a_1 + 56d) = 159 - 124 \] Isso se simplifica para: \[ 7d = 35 \] Portanto, temos: \[ d = 5 \] Substituindo \( d = 5 \) na Equação 1: \[ 3a_1 + 14(5) = 31 \] \[ 3a_1 + 70 = 31 \] \[ 3a_1 = 31 - 70 \] \[ 3a_1 = -39 \] \[ a_1 = -13 \] Assim, temos \( a_1 = -13 \) e \( d = 5 \). Agora, podemos encontrar o 2025º termo da PA utilizando a fórmula do termo geral: \[ a_{2025} = a_1 + (2025 - 1) \cdot d \] \[ a_{2025} = -13 + 2024 \cdot 5 \] \[ a_{2025} = -13 + 10120 \] \[ a_{2025} = 10107 \] Portanto, o 2025º termo da progressão aritmética é \( \boxed{10107} \).