\begin{tabular}{l}\hline $$ \mathbf{1}^{\boldsymbol{a}} $$ Questão (0,6 ponto) - Em uma progressão aritmética $$ \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots ight) $$ sabe-se que \ $$ a_{3}+a_{5}+a_{9}=31 $$ e que $$ a_{2}+a_{4}+a_{7}+a_{12}=53 $$. Determine: \ $$ \boldsymbol{a})(\mathbf{0 , 2}) $$ o $$ 2025^{\circ} $$ termo da progressão. \end{tabular}

Question

\begin{tabular}{l}\hline $$ \mathbf{1}^{\boldsymbol{a}} $$ Questão (0,6 ponto) - Em uma progressão aritmética $$ \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldotsight) $$ sabe-se que \ $$ a_{3}+a_{5}+a_{9}=31 $$ e que $$ a_{2}+a_{4}+a_{7}+a_{12}=53 $$. Determine: \ $$ \boldsymbol{a})(\mathbf{0 , 2}) $$ o $$ 2025^{\circ} $$ termo da progressão. \end{tabular}

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Vamos resolver o problema passo a passo.

**Dados:**
- Progressão Aritmética (PA) com termos $$ a_1, a_2, a_3, \ldots $$.
- Sabemos que:
  $$
  a_3 + a_5 + a_9 = 31
  $$
  $$
  a_2 + a_4 + a_7 + a_{12} = 53
  $$

**Expressando os termos da PA:**
A fórmula geral do $$ n $$-ésimo termo de uma PA é:
$$
a_n = a_1 + (n-1)d
$$
onde $$ a_1 $$ é o primeiro termo e $$ d $$ é a razão da PA.

**Aplicando aos termos fornecidos:**
1. **Para a equação $$ a_3 + a_5 + a_9 = 31 $$:**
   $$
   a_3 = a_1 + 2d
   $$
   $$
   a_5 = a_1 + 4d
   $$
   $$
   a_9 = a_1 + 8d
   $$
   Somando:
   $$
   (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 8d) = 3a_1 + 14d = 31 \quad \text{(Equação 1)}
   $$

2. **Para a equação $$ a_2 + a_4 + a_7 + a_{12} = 53 $$:**
   $$
   a_2 = a_1 + d
   $$
   $$
   a_4 = a_1 + 3d
   $$
   $$
   a_7 = a_1 + 6d
   $$
   $$
   a_{12} = a_1 + 11d
   $$
   Somando:
   $$
   (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 11d) = 4a_1 + 21d = 53 \quad \text{(Equação 2)}
   $$

**Resolvendo o sistema de equações:**
Temos o sistema:
$$
\begin{cases}
3a_1 + 14d = 31 \
4a_1 + 21d = 53
\end{cases}
$$

Multiplicando a **Equação 1** por 4:
$$
12a_1 + 56d = 124
$$

Multiplicando a **Equação 2** por 3:
$$
12a_1 + 63d = 159
$$

Subtraindo as duas equações:
$$
(12a_1 + 63d) - (12a_1 + 56d) = 159 - 124
$$
$$
7d = 35 \Rightarrow d = 5
$$

Substituindo $$ d = 5 $$ na **Equação 1**:
$$
3a_1 + 14 \times 5 = 31
$$
$$
3a_1 + 70 = 31 \Rightarrow 3a_1 = -39 \Rightarrow a_1 = -13
$$

**Fórmula geral da PA:**
$$
a_n = a_1 + (n-1)d = -13 + (n-1) \times 5 = 5n - 18
$$

**Calculando o 2025º termo:**
$$
a_{2025} = 5 \times 2025 - 18 = 10125 - 18 = 10107
$$

**Resposta:**  
O $$2025^{\circ}$$ termo da progressão é **10107**.
The 2025th term of the arithmetic progression is 10107.

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