Aufgabe: (2 Punkte) Bestimme den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}(-6|-3|-11) \) von der Ebene \( \mathrm{E}: 6 x_{1}+9 x_{2}+2 x_{3}=36 \) Berechne dabei auch den Lotfußpunkt. Lotfußpunkt L:(

Um den Abstand eines Punktes von einer Ebene zu berechnen, verwenden wir die Formel für den Abstand \( d \) eines Punktes \( P(x_0, y_0, z_0) \) von der Ebene \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Zuerst bringen wir die Ebenengleichung \( 6x_1 + 9x_2 + 2x_3 = 36 \) in die Form \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \[ 6x_1 + 9x_2 + 2x_3 - 36 = 0 \] Hierbei ist \( A = 6, B = 9, C = 2 \) und \( D = -36 \). Setzen wir den Punkt \( P(-6, -3, -11) \) in die Formel ein: \[ d = \frac{|6(-6) + 9(-3) + 2(-11) - 36|}{\sqrt{6^2 + 9^2 + 2^2}} = \frac{|-36 - 27 - 22 - 36|}{\sqrt{36 + 81 + 4}} = \frac{|-121|}{\sqrt{121}} = \frac{121}{11} = 11 \] Der Abstand beträgt also 11 Einheiten. Um den Lotfußpunkt \( L \) zu bestimmen, berechnen wir die Projektionsformel. Wir müssen die gleiche Richtung wie den Normalenvektor \( \mathbf{n} = (6, 9, 2) \) verwenden. Der Lotfußpunkt kann mit folgender Formel berechnet werden: \[ L = P + d \cdot \frac{\mathbf{n}}{|\mathbf{n}|} \] Berechnen wir zuerst den Normalenvektor: \[ |\mathbf{n}| = \sqrt{6^2 + 9^2 + 2^2} = \sqrt{121} = 11 \] Der Lotfußpunkt \( L \) ist dann: \[ L = (-6, -3, -11) + (11 \cdot \frac{(6, 9, 2)}{11}) = (-6 + 6, -3 + 9, -11 + 2) = (0, 6, -9) \] Der Lotfußpunkt \( L \) ist also \( L(0 | 6 | -9) \).