Answer
1. **Integral Fungsi Rasional:**
\[
\int \left(1 + \frac{4}{x} - 5x^{-2}\right) dx = x + 4 \ln |x| + \frac{5}{x} + C
\]
2. **Integral Tak Wajar:**
\[
\int_{2}^{\infty} e^{-5x} \, dx = \frac{e^{-10}}{5}
\]
3. **Panjang Busur Kurva:**
\[
L \approx 2.085 \text{ satuan panjang}
\]
Solution
Tentu, berikut adalah solusi untuk soal-soal yang diberikan:
---
### **1. Hitunglah integral fungsi rasional berikut.**
**Sebelumnya, asumsi bahwa fungsi rasional yang dimaksud adalah:**
\[
\int \frac{x^{2} + 4x - 5}{x^{2}} \, dx
\]
**Langkah-langkah:**
Pertama, kita sederhanakan fungsi rasional tersebut dengan membagi setiap suku di pembilang dengan penyebut:
\[
\frac{x^{2} + 4x - 5}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4x}{x^{2}} - \frac{5}{x^{2}} = 1 + \frac{4}{x} - 5x^{-2}
\]
Sekarang, kita integrasikan setiap suku secara terpisah:
\[
\int \left(1 + \frac{4}{x} - 5x^{-2}\right) dx = \int 1 \, dx + \int \frac{4}{x} \, dx - \int 5x^{-2} \, dx
\]
\[
= x + 4 \ln |x| + 5x^{-1} + C
\]
\[
= x + 4 \ln |x| + \frac{5}{x} + C
\]
**Jadi, hasil integralnya adalah:**
\[
x + 4 \ln |x| + \frac{5}{x} + C
\]
---
### **2. Hitunglah integral tak wajar berikut.**
#### **a.**
\[
\int_{2}^{\infty} e^{-5x} \, dx
\]
**Langkah-langkah:**
Ini adalah integral tak wajar karena batas atasnya adalah tak hingga. Kita evaluasi limit dari integral dengan batas atas \( b \) mendekati tak hingga:
\[
\int_{2}^{\infty} e^{-5x} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} e^{-5x} \, dx
\]
Integralkan \( e^{-5x} \):
\[
\int e^{-5x} \, dx = -\frac{1}{5} e^{-5x} + C
\]
Evaluasi dari 2 hingga \( b \):
\[
\left[ -\frac{1}{5} e^{-5x} \right]_2^{b} = -\frac{1}{5} e^{-5b} + \frac{1}{5} e^{-10}
\]
Ambil limit saat \( b \to \infty \):
\[
\lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{5} e^{-5b} + \frac{1}{5} e^{-10} \right) = 0 + \frac{1}{5} e^{-10} = \frac{e^{-10}}{5}
\]
**Jadi, hasil integralnya adalah:**
\[
\frac{e^{-10}}{5}
\]
---
### **3. Tentukan panjang busur dari kurva berikut pada interval \( 1 \leq x \leq 2 \) dengan \( y = 2 + x^{3/2} \).**
**Langkah-langkah:**
Panjang busur \( L \) dari kurva \( y = f(x) \) pada interval \( [a, b] \) diberikan oleh:
\[
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx
\]
Pertama, hitung turunan \( y \) terhadap \( x \):
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( 2 + x^{3/2} \right) = \frac{3}{2} x^{1/2}
\]
Kemudian, masukkan ke dalam rumus panjang busur:
\[
L = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \left( \frac{3}{2} x^{1/2} \right)^2} \, dx = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \frac{9}{4} x} \, dx
\]
Sederhanakan ekspresi di bawah akar:
\[
\sqrt{1 + \frac{9}{4} x} = \sqrt{\frac{4 + 9x}{4}} = \frac{\sqrt{4 + 9x}}{2}
\]
Maka, integral menjadi:
\[
L = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \sqrt{4 + 9x} \, dx
\]
Sekarang, lakukan substitusi sederhana:
Misalkan \( u = 4 + 9x \), maka \( du = 9 dx \) atau \( dx = \frac{du}{9} \).
Saat \( x = 1 \), \( u = 4 + 9(1) = 13 \).
Saat \( x = 2 \), \( u = 4 + 9(2) = 22 \).
Integral menjadi:
\[
L = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} \int_{13}^{22} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{18} \cdot \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{13}^{22} = \frac{1}{27} \left( 22^{3/2} - 13^{3/2} \right)
\]
Hitung numeriknya:
\[
22^{3/2} = 22 \cdot \sqrt{22} \approx 22 \cdot 4.6904 \approx 103.189
\]
\[
13^{3/2} = 13 \cdot \sqrt{13} \approx 13 \cdot 3.6056 \approx 46.8728
\]
Sehingga:
\[
L \approx \frac{1}{27} (103.189 - 46.8728) = \frac{1}{27} \times 56.3162 \approx 2.0847
\]
**Jadi, panjang busarnya adalah sekitar 2.085 satuan panjang.**
---
Reviewed and approved by the UpStudy tutoring team
Explain
Simplify this solution
