ESERCIZIO Data la funzione definita mediante la legge \[ f(x)=\frac{3 e^{2 x}}{x-4} \] a) determinarne gli eventuali punti di minimo e massimo relativo; b) dopo aver verificato se sono soddisfatte le condizioni del Teorema di Weierstrass nell'insieme \( \left[\frac{17}{4}, \frac{21}{4}\right] \), determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo assoluti.

### **Soluzione dell'Esercizio** Consideriamo la funzione \[ f(x) = \frac{3 e^{2x}}{x - 4} \] #### **a) Punti di minimo e massimo relativo** Per determinare i punti di minimo e massimo relativo, calcoliamo la derivata prima della funzione e individuiamo i punti critici. **Calcolo della derivata prima:** \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3 e^{2x}}{x - 4} \right) = \frac{6 e^{2x} (x - 4) - 3 e^{2x}}{(x - 4)^2} = \frac{e^{2x} (6x - 27)}{(x - 4)^2} \] **Individuazione dei punti critici:** \[ f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 6x - 27 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5 \] Il denominatore \((x - 4)^2\) è sempre positivo per \(x \neq 4\), quindi il segno di \(f'(x)\) è determinato da \(6x - 27\): - **Per \(x < 4.5\):** \(f'(x) < 0\) - **Per \(x > 4.5\):** \(f'(x) > 0\) Poiché la derivata passa da negativa a positiva in \(x = 4.5\), la funzione presenta un **punto di minimo relativo** in questo punto. **Coordinate del punto di minimo:** \[ f\left(\frac{9}{2}\right) = \frac{3 e^{9}}{\frac{9}{2} - 4} = \frac{3 e^{9}}{0.5} = 6 e^{9} \] **Conclusione:** - **Minimo relativo**: \(x = \frac{9}{2}\) con \(f\left(\frac{9}{2}\right) = 6 e^{9}\) - **Nessun punto di massimo relativo** rilevato. #### **b) Applicazione del Teorema di Weierstrass sull'intervallo \(\left[\frac{17}{4}, \frac{21}{4}\right]\)** **Verifica delle condizioni del Teorema di Weierstrass:** - La funzione \(f(x)\) è **continua** sull'intervallo chiuso \(\left[\frac{17}{4}, \frac{21}{4}\right] = [4.25, 5.25]\) poiché il denominatore \(x - 4\) non si annulla nell'intervallo (infatti, \(4.25 > 4\)). - L'intervallo \([4.25, 5.25]\) è **compatto** (chiuso e limitato). Pertanto, secondo il Teorema di Weierstrass, la funzione \(f(x)\) assume **massimi e minimi assoluti** nell'intervallo considerato. **Calcolo dei valori sui punti critici e sugli estremi dell'intervallo:** 1. **Estremo sinistro \(x = 4.25\):** \[ f\left(4.25\right) = \frac{3 e^{8.5}}{0.25} = 12 e^{8.5} \] 2. **Punto critico \(x = 4.5\):** \[ f\left(4.5\right) = 6 e^{9} \] 3. **Estremo destro \(x = 5.25\):** \[ f\left(5.25\right) = \frac{3 e^{10.5}}{1.25} = 2.4 e^{10.5} \] **Confronto dei valori:** - \(f(4.25) = 12 e^{8.5}\) - \(f(4.5) = 6 e^{9}\) - \(f(5.25) = 2.4 e^{10.5}\) Poiché \(e^{10.5} > e^{9} > e^{8.5}\), risulta che: - **Massimo assoluto**: \(x = 5.25\) con \(f(5.25) = 2.4 e^{10.5}\) - **Minimo assoluto**: \(x = 4.5\) con \(f(4.5) = 6 e^{9}\) ### **Conclusione Finale:** - **a)** La funzione \(f(x)\) presenta un **punto di minimo relativo** in \(x = \dfrac{9}{2}\). - **b)** Sul dominio \(\left[\dfrac{17}{4}, \dfrac{21}{4}\right]\), \(f(x)\) raggiunge un **minimo assoluto** in \(x = \dfrac{9}{2}\) e un **massimo assoluto** in \(x = 5.25\).