SOAL : 1. Hitunglah integral fungsi rasional berikut. 2. Hitunglah integral tak wajar berikut. a. \( \int_{2}^{\infty} e^{-5 x} d x \) \( x^{2}+4 x-5 \) 3. Tentukan panjang busur dari kurva berikut pada interval \( 1 \leq x \leq 2 \) dengan \( y=2+x^{3 / 2} \) \( x^{2} e^{-x} d x \)

Tentu, berikut adalah solusi untuk soal-soal yang diberikan: --- ### **1. Hitunglah integral fungsi rasional berikut.** **Sebelumnya, asumsi bahwa fungsi rasional yang dimaksud adalah:** \[ \int \frac{x^{2} + 4x - 5}{x^{2}} \, dx \] **Langkah-langkah:** Pertama, kita sederhanakan fungsi rasional tersebut dengan membagi setiap suku di pembilang dengan penyebut: \[ \frac{x^{2} + 4x - 5}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4x}{x^{2}} - \frac{5}{x^{2}} = 1 + \frac{4}{x} - 5x^{-2} \] Sekarang, kita integrasikan setiap suku secara terpisah: \[ \int \left(1 + \frac{4}{x} - 5x^{-2}\right) dx = \int 1 \, dx + \int \frac{4}{x} \, dx - \int 5x^{-2} \, dx \] \[ = x + 4 \ln |x| + 5x^{-1} + C \] \[ = x + 4 \ln |x| + \frac{5}{x} + C \] **Jadi, hasil integralnya adalah:** \[ x + 4 \ln |x| + \frac{5}{x} + C \] --- ### **2. Hitunglah integral tak wajar berikut.** #### **a.** \[ \int_{2}^{\infty} e^{-5x} \, dx \] **Langkah-langkah:** Ini adalah integral tak wajar karena batas atasnya adalah tak hingga. Kita evaluasi limit dari integral dengan batas atas \( b \) mendekati tak hingga: \[ \int_{2}^{\infty} e^{-5x} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} e^{-5x} \, dx \] Integralkan \( e^{-5x} \): \[ \int e^{-5x} \, dx = -\frac{1}{5} e^{-5x} + C \] Evaluasi dari 2 hingga \( b \): \[ \left[ -\frac{1}{5} e^{-5x} \right]_2^{b} = -\frac{1}{5} e^{-5b} + \frac{1}{5} e^{-10} \] Ambil limit saat \( b \to \infty \): \[ \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{5} e^{-5b} + \frac{1}{5} e^{-10} \right) = 0 + \frac{1}{5} e^{-10} = \frac{e^{-10}}{5} \] **Jadi, hasil integralnya adalah:** \[ \frac{e^{-10}}{5} \] --- ### **3. Tentukan panjang busur dari kurva berikut pada interval \( 1 \leq x \leq 2 \) dengan \( y = 2 + x^{3/2} \).** **Langkah-langkah:** Panjang busur \( L \) dari kurva \( y = f(x) \) pada interval \( [a, b] \) diberikan oleh: \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] Pertama, hitung turunan \( y \) terhadap \( x \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( 2 + x^{3/2} \right) = \frac{3}{2} x^{1/2} \] Kemudian, masukkan ke dalam rumus panjang busur: \[ L = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \left( \frac{3}{2} x^{1/2} \right)^2} \, dx = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \frac{9}{4} x} \, dx \] Sederhanakan ekspresi di bawah akar: \[ \sqrt{1 + \frac{9}{4} x} = \sqrt{\frac{4 + 9x}{4}} = \frac{\sqrt{4 + 9x}}{2} \] Maka, integral menjadi: \[ L = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \sqrt{4 + 9x} \, dx \] Sekarang, lakukan substitusi sederhana: Misalkan \( u = 4 + 9x \), maka \( du = 9 dx \) atau \( dx = \frac{du}{9} \). Saat \( x = 1 \), \( u = 4 + 9(1) = 13 \). Saat \( x = 2 \), \( u = 4 + 9(2) = 22 \). Integral menjadi: \[ L = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} \int_{13}^{22} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{18} \cdot \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{13}^{22} = \frac{1}{27} \left( 22^{3/2} - 13^{3/2} \right) \] Hitung numeriknya: \[ 22^{3/2} = 22 \cdot \sqrt{22} \approx 22 \cdot 4.6904 \approx 103.189 \] \[ 13^{3/2} = 13 \cdot \sqrt{13} \approx 13 \cdot 3.6056 \approx 46.8728 \] Sehingga: \[ L \approx \frac{1}{27} (103.189 - 46.8728) = \frac{1}{27} \times 56.3162 \approx 2.0847 \] **Jadi, panjang busarnya adalah sekitar 2.085 satuan panjang.** ---