\( \mathbf{1}^{a} \) Questão (0,6 ponto) - Em uma progressão aritmética \( \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots\right) \) sabe-se que \( a_{3}+a_{5}+a_{9}=31 \) e que \( a_{2}+a_{4}+a_{7}+a_{12}=53 \). Determine: b)(0,2) se o número 3982 pertence à progressão. Em caso afirmativo, indique sua posição na PA.

Para determinar se o número **3982** pertence à progressão aritmética (PA) dada e, em caso afirmativo, sua posição, sigamos os seguintes passos: ### Passo 1: Determinar o Primeiro Termo (\(a_1\)) e a Razão (\(d\)) da PA Dada a PA \( \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots\right) \), sabemos que: \[ \begin{cases} a_{3} + a_{5} + a_{9} = 31 \\ a_{2} + a_{4} + a_{7} + a_{12} = 53 \end{cases} \] Expressando cada termo em função de \(a_1\) e \(d\): \[ \begin{align*} a_n &= a_1 + (n - 1)d \\ a_3 &= a_1 + 2d \\ a_5 &= a_1 + 4d \\ a_9 &= a_1 + 8d \\ a_2 &= a_1 + d \\ a_4 &= a_1 + 3d \\ a_7 &= a_1 + 6d \\ a_{12} &= a_1 + 11d \\ \end{align*} \] Substituindo na primeira equação: \[ a_3 + a_5 + a_9 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 8d) = 3a_1 + 14d = 31 \quad \text{(1)} \] Substituindo na segunda equação: \[ a_2 + a_4 + a_7 + a_{12} = (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 11d) = 4a_1 + 21d = 53 \quad \text{(2)} \] Resolvendo o sistema de equações: \[ \begin{cases} 3a_1 + 14d = 31 \\ 4a_1 + 21d = 53 \end{cases} \] Multiplicando a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para eliminar \(a_1\): \[ \begin{cases} 12a_1 + 56d = 124 \\ 12a_1 + 63d = 159 \end{cases} \] Subtraindo as equações: \[ 7d = 35 \Rightarrow d = 5 \] Substituindo \(d = 5\) na equação (1): \[ 3a_1 + 14 \times 5 = 31 \Rightarrow 3a_1 + 70 = 31 \Rightarrow 3a_1 = -39 \Rightarrow a_1 = -13 \] ### Passo 2: Verificar se 3982 pertence à PA A fórmula geral do termo \(a_n\) é: \[ a_n = a_1 + (n - 1)d = -13 + (n - 1) \times 5 = 5n - 18 \] Para verificar se 3982 pertence à PA: \[ 3982 = 5n - 18 \\ 5n = 3982 + 18 \\ 5n = 4000 \\ n = 800 \] **Como \(n = 800\) é um número inteiro positivo, o número 3982 pertence à PA e está na posição 800.** **Resposta:** Sim, o número 3982 está na progressão aritmética e ocupa a 800ª posição.