$$ \mathbf{1}^{a} $$ Questão (0,6 ponto) - Em uma progressão aritmética $$ \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots\right) $$ sabe-se que $$ a_{3}+a_{5}+a_{9}=31 $$ e que $$ a_{2}+a_{4}+a_{7}+a_{12}=53 $$. Determine: b)(0,2) se o número 3982 pertence à progressão. Em caso afirmativo, indique sua posição na PA.

Question

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Para determinar se o número **3982** pertence à progressão aritmética (PA) dada e, em caso afirmativo, sua posição, sigamos os seguintes passos:

### Passo 1: Determinar o Primeiro Termo ($$a_1$$) e a Razão ($$d$$) da PA

Dada a PA $$ \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots\right) $$, sabemos que:
$$
\begin{cases}
a_{3} + a_{5} + a_{9} = 31 \
a_{2} + a_{4} + a_{7} + a_{12} = 53
\end{cases}
$$

Expressando cada termo em função de $$a_1$$ e $$d$$:
$$
\begin{align*}
a_n &= a_1 + (n - 1)d \
a_3 &= a_1 + 2d \
a_5 &= a_1 + 4d \
a_9 &= a_1 + 8d \
a_2 &= a_1 + d \
a_4 &= a_1 + 3d \
a_7 &= a_1 + 6d \
a_{12} &= a_1 + 11d \
\end{align*}
$$

Substituindo na primeira equação:
$$
a_3 + a_5 + a_9 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 8d) = 3a_1 + 14d = 31 \quad \text{(1)}
$$

Substituindo na segunda equação:
$$
a_2 + a_4 + a_7 + a_{12} = (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 11d) = 4a_1 + 21d = 53 \quad \text{(2)}
$$

Resolvendo o sistema de equações:
$$
\begin{cases}
3a_1 + 14d = 31 \
4a_1 + 21d = 53
\end{cases}
$$

Multiplicando a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para eliminar $$a_1$$:
$$
\begin{cases}
12a_1 + 56d = 124 \
12a_1 + 63d = 159
\end{cases}
$$

Subtraindo as equações:
$$
7d = 35 \Rightarrow d = 5
$$

Substituindo $$d = 5$$ na equação (1):
$$
3a_1 + 14 \times 5 = 31 \Rightarrow 3a_1 + 70 = 31 \Rightarrow 3a_1 = -39 \Rightarrow a_1 = -13
$$

### Passo 2: Verificar se 3982 pertence à PA

A fórmula geral do termo $$a_n$$ é:
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d = -13 + (n - 1) \times 5 = 5n - 18
$$

Para verificar se 3982 pertence à PA:
$$
3982 = 5n - 18 \
5n = 3982 + 18 \
5n = 4000 \
n = 800
$$

**Como $$n = 800$$ é um número inteiro positivo, o número 3982 pertence à PA e está na posição 800.**

**Resposta:**

Sim, o número 3982 está na progressão aritmética e ocupa a 800ª posição.
The number 3982 is in the arithmetic sequence and is the 800th term.

Questão (0,6 ponto) - Em uma progressão aritmética sabe-se que
e que . Determine:
b)(0,2) se o número 3982 pertence à progressão. Em caso afirmativo, indique sua posição na PA.

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