\( \quad \) Determinons \( \lim _{n} \frac{1}{\sqrt{1+n^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{2+n}}+\frac{1}{\sqrt{3+n^{2}}}+\ldots \ldots \ldots+\frac{1}{\sqrt{n+n^{2}}}: \) Soit: \( \boldsymbol{n} \in \mathbb{N}^{*} \)

Pour déterminer la limite suivante : \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1+n^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{2+n}} + \frac{1}{\sqrt{3+n^{2}}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n+n^{2}}} \right) \] nous allons analyser chaque terme de la somme. ### Étape 1 : Analyser chaque terme Nous avons \( n \) termes dans la somme, et chaque terme est de la forme \( \frac{1}{\sqrt{k+n^2}} \) ou \( \frac{1}{\sqrt{k+n}} \) pour \( k = 1, 2, \ldots, n \). 1. Pour les termes de la forme \( \frac{1}{\sqrt{k+n^2}} \) (où \( k \) est un entier positif), lorsque \( n \) devient très grand, nous avons : \[ \frac{1}{\sqrt{k+n^2}} \approx \frac{1}{\sqrt{n^2}} = \frac{1}{n} \] 2. Pour les termes de la forme \( \frac{1}{\sqrt{k+n}} \), lorsque \( n \) devient très grand, nous avons : \[ \frac{1}{\sqrt{k+n}} \approx \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} \] ### Étape 2 : Calculer la somme Nous allons maintenant examiner la somme totale : \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+n^2}} + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+n}} \] Pour la première somme, nous avons \( n \) termes qui se comportent comme \( \frac{1}{n} \), donc : \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+n^2}} \approx n \cdot \frac{1}{n} = 1 \] Pour la seconde somme, chaque terme se comporte comme \( \frac{1}{\sqrt{n}} \), donc : \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+n}} \approx n \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n} \] ### Étape 3 : Limite totale En combinant les deux résultats, nous avons : \[ S_n \approx 1 + \sqrt{n} \] ### Étape 4 : Calculer la limite Maintenant, nous prenons la limite lorsque \( n \) tend vers l'infini : \[ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} (1 + \sqrt{n}) = \infty \] ### Conclusion Ainsi, la limite recherchée est : \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1+n^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{2+n}} + \frac{1}{\sqrt{3+n^{2}}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n+n^{2}}} \right) = \infty \]