$$ \quad $$ Determinons $$ \lim _{n} \frac{1}{\sqrt{1+n^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{2+n}}+\frac{1}{\sqrt{3+n^{2}}}+\ldots \ldots \ldots+\frac{1}{\sqrt{n+n^{2}}}: $$ Soit: $$ \boldsymbol{n} \in \mathbb{N}^{*} $$

Question

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Pour déterminer la limite suivante :

$$
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1+n^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{2+n}} + \frac{1}{\sqrt{3+n^{2}}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n+n^{2}}} \right)
$$

nous allons analyser chaque terme de la somme.

### Étape 1 : Analyser chaque terme

Nous avons $$ n $$ termes dans la somme, et chaque terme est de la forme $$ \frac{1}{\sqrt{k+n^2}} $$ ou $$ \frac{1}{\sqrt{k+n}} $$ pour $$ k = 1, 2, \ldots, n $$.

1. Pour les termes de la forme $$ \frac{1}{\sqrt{k+n^2}} $$ (où $$ k $$ est un entier positif), lorsque $$ n $$ devient très grand, nous avons :

$$
\frac{1}{\sqrt{k+n^2}} \approx \frac{1}{\sqrt{n^2}} = \frac{1}{n}
$$

2. Pour les termes de la forme $$ \frac{1}{\sqrt{k+n}} $$, lorsque $$ n $$ devient très grand, nous avons :

$$
\frac{1}{\sqrt{k+n}} \approx \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}}
$$

### Étape 2 : Calculer la somme

Nous allons maintenant examiner la somme totale :

$$
S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+n^2}} + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+n}}
$$

Pour la première somme, nous avons $$ n $$ termes qui se comportent comme $$ \frac{1}{n} $$, donc :

$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+n^2}} \approx n \cdot \frac{1}{n} = 1
$$

Pour la seconde somme, chaque terme se comporte comme $$ \frac{1}{\sqrt{n}} $$, donc :

$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+n}} \approx n \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}
$$

### Étape 3 : Limite totale

En combinant les deux résultats, nous avons :

$$
S_n \approx 1 + \sqrt{n}
$$

### Étape 4 : Calculer la limite

Maintenant, nous prenons la limite lorsque $$ n $$ tend vers l'infini :

$$
\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} (1 + \sqrt{n}) = \infty
$$

### Conclusion

Ainsi, la limite recherchée est :

$$
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1+n^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{2+n}} + \frac{1}{\sqrt{3+n^{2}}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n+n^{2}}} \right) = \infty
$$
The limit of the sum $$ \frac{1}{\sqrt{1+n^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{2+n}} + \frac{1}{\sqrt{3+n^{2}}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n+n^{2}}} $$ as $$ n $$ approaches infinity is infinity.

\( \quad \) Determinons \( \lim _{n} \frac{1}{\sqrt{1+n^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{2+n}}+\frac{1}{\sqrt{3+n^{2}}}+\ldots \ldots \ldots+\frac{1}{\sqrt{n+n^{2}}}: \) Soit: \( \boldsymbol{n} \in \mathbb{N}^{*} \)

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