Aufgabe: \( (2 \) Punkte) Bestimme den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}(13|-5|-6) \) von der Ebene \( \mathrm{E}: 6 x_{1}+7 x_{2}-6 x_{3}=-42 \). Gib einen weiteren Punkt Q an, der den gleichen Abstand zu E hat. Ich möchte nur die Lösung s

Um den Abstand des Punktes \( P(13, -5, -6) \) von der Ebene \( E: 6x_1 + 7x_2 - 6x_3 = -42 \) zu bestimmen, verwenden wir die Formel für den Abstand \( d \) eines Punktes \( (x_0, y_0, z_0) \) von der Ebene \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Hier sind \( A = 6 \), \( B = 7 \), \( C = -6 \) und \( D = 42 \). Setzen wir die Koordinaten des Punktes \( P(13, -5, -6) \) in die Formel ein: \[ d = \frac{|6(13) + 7(-5) - 6(-6) + 42|}{\sqrt{6^2 + 7^2 + (-6)^2}} = \frac{|78 - 35 + 36 + 42|}{\sqrt{36 + 49 + 36}} = \frac{|121|}{\sqrt{121}} = \frac{121}{11} = 11 \] Der Abstand des Punktes \( P \) von der Ebene \( E \) beträgt also \( 11 \). Ein weiterer Punkt \( Q \), der den gleichen Abstand zur Ebene \( E \) hat, könnte beispielsweise \( Q(13, -5, -6 + 11) = (13, -5, 5) \) sein, da wir einfach 11 Einheiten entlang der z-Achse hinzufügen.