Aufgabe: (2 Punkte) Bestimme den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}(0|-6| 9) \) von der Ebene \( \mathrm{E}:-6 x_{1}-9 x_{2}-2 x_{3}=36 \). Berechne dabei auch den Lotfußpunkt. Lotfußpunkt L:( Iösen

Um den Abstand des Punktes \( P(0, -6, 9) \) von der Ebene \( E: -6 x_{1} - 9 x_{2} - 2 x_{3} = 36 \) zu bestimmen, verwenden wir die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene. Die allgemeine Form ist: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Dabei entsprechen \( A, B, C \) den Koeffizienten der Ebene und \( D \) ist der konstante Wert. In deinem Fall haben wir \( A = -6, B = -9, C = -2 \) und \( D = -36 \). Setzen wir die Koordinaten von Punkt \( P \) ein: \[ d = \frac{|(-6)(0) + (-9)(-6) + (-2)(9) - 36|}{\sqrt{(-6)^2 + (-9)^2 + (-2)^2}} = \frac{|0 + 54 - 18 - 36|}{\sqrt{36 + 81 + 4}} = \frac{|0|}{\sqrt{121}} = 0 \] Der Abstand beträgt also 0, was bedeutet, dass der Punkt \( P \) auf der Ebene \( E \) liegt. Um den Lotfußpunkt \( L \) zu finden, benötigen wir den Punkt, an dem die Senkrechte von \( P \) auf die Ebene trifft. Da der Punkt \( P \) bereits auf der Ebene liegt, ist der Lotfußpunkt \( L\) identisch mit \( P \): \( L(0, -6, 9) \).