\( f(x)=x^{2} \cdot \ln x \) La courbe (8) représentative de la fonction \( f \) dans le plan muni d'un repère orthonormé. (1) (a) Déterminer la limite de \( f \) en \( +\infty \). (b) Etudier les variations de \( f \) sur \( ] 0 ;+\infty[ \) (2) Pour cette question, toute trace de recherche, même in- complète, sera prise en compte dans l'évaluation. Démontrer qu'il existe une tangente unique à la courbe \( \mathscr{C} \) passant par \( O \). Préciser une équation de cette tangente.

**(1) Analyse de la fonction \( f(x) = x^{2} \ln x \) sur \( ] 0 ; +\infty[ \)** **(a) Calcul de la limite de \( f \) en \( +\infty \)** Pour déterminer la limite de \( f(x) = x^{2} \ln x \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \), observons que : - \( x^{2} \) tend vers \( +\infty \). - \( \ln x \) tend également vers \( +\infty \). Ainsi, le produit \( x^{2} \ln x \) croît sans borne, ce qui nous donne : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty. \] **(b) Étude des variations de \( f \) sur \( ] 0 ; +\infty[ \)** Pour étudier les variations de \( f \), calculons sa dérivée : \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{2} \ln x \right) = 2x \ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = x (2 \ln x + 1). \] **Recherche des points critiques :** \[ f'(x) = 0 \Rightarrow x (2 \ln x + 1) = 0. \] Étant donné que \( x > 0 \), il s'ensuit : \[ 2 \ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-\frac{1}{2}}. \] Le point critique est donc \( x = e^{-\frac{1}{2}} \). **Analyse du signe de \( f'(x) \) :** - **Pour \( x \in ]0 ; e^{-\frac{1}{2}}[ \) :** \[ \ln x < -\frac{1}{2} \Rightarrow 2 \ln x + 1 < 0 \Rightarrow f'(x) < 0. \] La fonction est **décroissante** sur cet intervalle. - **Pour \( x \in ]e^{-\frac{1}{2}} ; +\infty[ \) :** \[ \ln x > -\frac{1}{2} \Rightarrow 2 \ln x + 1 > 0 \Rightarrow f'(x) > 0. \] La fonction est **croissante** sur cet intervalle. **Conclusion :** \[ f \text{ est décroissante sur } ]0 ; e^{-\frac{1}{2}}[, \text{ puis croissante sur } ]e^{-\frac{1}{2}} ; +\infty[. \] --- **(2) Démonstration de l'existence et unicité d'une tangente passant par l'origine \( O \), et détermination de son équation** Nous cherchons une tangente à la courbe \( \mathscr{C} \) représentant \( f \) qui passe par l'origine \( O(0,0) \). **Équation de la tangente en un point \( x = a \) :** \[ y = f'(a)(x - a) + f(a). \] Cette droite doit passer par \( O \), donc : \[ 0 = f'(a)(-a) + f(a). \] Autrement dit : \[ f(a) = a f'(a). \] **Substitution de \( f(a) \) et \( f'(a) \) :** \[ a^{2} \ln a = a \cdot a (2 \ln a + 1) \Rightarrow a^{2} \ln a = a^{2} (2 \ln a + 1). \] En simplifiant : \[ a^{2} \ln a - a^{2} (2 \ln a + 1) = 0 \Rightarrow a^{2} (-\ln a - 1) = 0. \] Comme \( a > 0 \), on obtient : \[ -\ln a - 1 = 0 \Rightarrow \ln a = -1 \Rightarrow a = e^{-1}. \] **Détermination de l'équation de la tangente :** Calculons \( f'(a) \) en \( a = e^{-1} \) : \[ f'(e^{-1}) = e^{-1} \left( 2 \ln e^{-1} + 1 \right) = e^{-1} \left( 2(-1) + 1 \right) = e^{-1} (-1). \] L'équation de la tangente est donc : \[ y = f'(e^{-1})(x - e^{-1}) + f(e^{-1}) = -e^{-1}(x - e^{-1}) + (-e^{-2}). \] Simplifions : \[ y = -e^{-1} x + e^{-2} - e^{-2} = -e^{-1} x. \] **Conclusion :** Il existe une unique tangente à \( \mathscr{C} \) passant par l'origine \( O \), dont l'équation est : \[ y = -\frac{1}{e} \, x. \]