Comprosar las mahrices: $$ A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \ 3 & 0\end{array} ight) $$ y $$ B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \ 1 & 3\end{array} ight) $$ que; a) $$ (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} $$ b) $$ (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} $$ c) $$ (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} $$

Question

Comprosar las mahrices: $$ A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \ 3 & 0\end{array}ight) $$ y $$ B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \ 1 & 3\end{array}ight) $$ que; a) $$ (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} $$ b) $$ (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} $$ c) $$ (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} $$

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Para comprobar las identidades dadas para las matrices $$ A $$ y $$ B $$, realizaremos los cálculos paso a paso para cada caso.

Dado:
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \
3 & 0
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
2 & -1 \
1 & 3
\end{pmatrix}
$$

### a) Comprobar que $$ (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 $$

**Paso 1: Calcular $$ A + B $$**
$$
A + B = \begin{pmatrix}
1+2 & 2+(-1) \
3+1 & 0+3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3 & 1 \
4 & 3
\end{pmatrix}
$$

**Paso 2: Calcular $$ (A + B)^2 $$**
$$
(A + B)^2 = (A + B)(A + B) = \begin{pmatrix}
3 & 1 \
4 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3 & 1 \
4 & 3
\end{pmatrix}
$$
$$
= \begin{pmatrix}
3 \cdot 3 + 1 \cdot 4 & 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \
4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 & 4 \cdot 1 + 3 \cdot 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
13 & 6 \
24 & 13
\end{pmatrix}
$$

**Paso 3: Calcular $$ A^2 $$, $$ AB $$, y $$ B^2 $$**
$$
A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \
3 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 2 \
3 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
7 & 2 \
3 & 6
\end{pmatrix}
$$
$$
B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix}
2 & -1 \
1 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 & -1 \
1 & 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3 & -5 \
5 & 8
\end{pmatrix}
$$
$$
AB = A \cdot B = \begin{pmatrix}
1 & 2 \
3 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 & -1 \
1 & 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 5 \
6 & -3
\end{pmatrix}
$$
$$
2AB = 2 \cdot \begin{pmatrix}
4 & 5 \
6 & -3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
8 & 10 \
12 & -6
\end{pmatrix}
$$

**Paso 4: Calcular $$ A^2 + 2AB + B^2 $$**
$$
A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix}
7 & 2 \
3 & 6
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
8 & 10 \
12 & -6
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
3 & -5 \
5 & 8
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
18 & 7 \
20 & 8
\end{pmatrix}
$$

**Comparación:**
$$
(A + B)^2 = \begin{pmatrix}
13 & 6 \
24 & 13
\end{pmatrix} \neq A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix}
18 & 7 \
20 & 8
\end{pmatrix}
$$

**Conclusión:** La igualdad $$ (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 $$ **no se cumple** para las matrices dadas.

---

### b) Comprobar que $$ (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 $$

**Paso 1: Calcular $$ A - B $$**
$$
A - B = \begin{pmatrix}
1-2 & 2-(-1) \
3-1 & 0-3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-1 & 3 \
2 & -3
\end{pmatrix}
$$

**Paso 2: Calcular $$ (A - B)^2 $$**
$$
(A - B)^2 = (A - B)(A - B) = \begin{pmatrix}
-1 & 3 \
2 & -3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & 3 \
2 & -3
\end{pmatrix}
$$
$$
= \begin{pmatrix}
(-1)(-1) + 3 \cdot 2 & (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-3) \
2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 2 & 2 \cdot 3 + (-3) \cdot (-3)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
7 & -12 \
-8 & 15
\end{pmatrix}
$$

**Paso 3: Calcular $$ A^2 - 2AB + B^2 $$**
$$
A^2 - 2AB + B^2 = \begin{pmatrix}
7 & 2 \
3 & 6
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
8 & 10 \
12 & -6
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
3 & -5 \
5 & 8
\end{pmatrix}
$$
$$
= \begin{pmatrix}
7 - 8 + 3 & 2 - 10 -5 \
3 - 12 + 5 & 6 - (-6) + 8
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & -13 \
-4 & 20
\end{pmatrix}
$$

**Comparación:**
$$
(A - B)^2 = \begin{pmatrix}
7 & -12 \
-8 & 15
\end{pmatrix} \neq A^2 - 2AB + B^2 = \begin{pmatrix}
2 & -13 \
-4 & 20
\end{pmatrix}
$$

**Conclusión:** La igualdad $$ (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 $$ **no se cumple** para las matrices dadas.

---

### c) Comprobar que $$ (A + B)(A - B) = A^2 - B^2 $$

**Paso 1: Calcular $$ (A + B)(A - B) $$**
$$
(A + B)(A - B) = \begin{pmatrix}
3 & 1 \
4 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & 3 \
2 & -3
\end{pmatrix}
$$
$$
= \begin{pmatrix}
3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 & 3 \cdot 3 + 1 \cdot (-3) \
4 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 & 4 \cdot 3 + 3 \cdot (-3)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-1 & 6 \
2 & 3
\end{pmatrix}
$$

**Paso 2: Calcular $$ A^2 - B^2 $$**
$$
A^2 - B^2 = \begin{pmatrix}
7 & 2 \
3 & 6
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
3 & -5 \
5 & 8
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 7 \
-2 & -2
\end{pmatrix}
$$

**Comparación:**
$$
(A + B)(A - B) = \begin{pmatrix}
-1 & 6 \
2 & 3
\end{pmatrix} \neq A^2 - B^2 = \begin{pmatrix}
4 & 7 \
-2 & -2
\end{pmatrix}
$$

**Conclusión:** La igualdad $$ (A + B)(A - B) = A^2 - B^2 $$ **no se cumple** para las matrices dadas.

---

### Resumen Final

Ninguna de las identidades propuestas se cumple para las matrices $$ A $$ y $$ B $$ dadas. Esto se debe a que, para matrices no conmutativas (es decir, cuando $$ AB \neq BA $$), las propiedades algebraicas similares a las de los números escalar no siempre se aplican.
Las identidades $$ (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 $$, $$ (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 $$, y $$ (A + B)(A - B) = A^2 - B^2 $$ **no se cumplen** para las matrices $$ A $$ y $$ B $$ dadas.

Comprosar las mahrices: \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 0\end{array}\right) \) y \( B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right) \) que; a) \( (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} \) b) \( (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} \) c) \( (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} \)

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