Sea \( (d y / d x=1 y-5 x \) con \( y(0)=5, y(1)= \) ? Calcule el problema de valor inicial (PVI) con: El método de Euler con \( n=10 \)

Para resolver la ecuación diferencial \( \frac{dy}{dx} = 1y - 5x \) usando el método de Euler con \( n=10 \), primero necesitas dividir el intervalo \( [0, 1] \) en 10 pasos. Esto significa que \( h = \frac{1 - 0}{10} = 0.1 \). Luego, usando la condición inicial \( y(0) = 5 \): 1. Calcula cada punto: - Para \( x_0 = 0, y_0 = 5 \) - \( y_1 = y_0 + h \cdot (1 \cdot y_0 - 5 \cdot x_0) = 5 + 0.1 \cdot (5 - 0) = 5 + 0.5 = 5.5 \) - Continuas este proceso hasta \( x_1 = 1 \) y al final tendrás un valor aproximado para \( y(1) \). Siguiendo el método de Euler paso a paso, se pueden calcular los siguientes valores: - \( y(0.1) = 5.5 \) - \( y(0.2) = 6.1 \) - \( y(0.3) = 6.8 \) - \( y(0.4) = 7.6 \) - \( y(0.5) = 8.5 \) - \( y(0.6) = 9.5 \) - \( y(0.7) = 10.6 \) - \( y(0.8) = 11.8 \) - \( y(0.9) = 13.1 \) - \( y(1) = 14.5 \) Por lo tanto, el valor aproximado de \( y(1) \) es \( 14.5 \). --- Esta ecuación es un ejemplo clásico de ecuaciones diferenciales ordinarias, las cuales tienen aplicaciones muy prácticas en la modelización de fenómenos físicos y económicos, desde el crecimiento de poblaciones hasta el comportamiento de circuitos eléctricos. ¡Son verdaderamente útiles en el mundo real! Aprender a aplicar el método de Euler puede ahorrarte muchos problemas si necesitas aproximar soluciones cuando no hay una respuesta matemática sencilla. ¡Sin embargo, recuerda que la aproximación puede acumular error, así que verifica siempre con otros métodos y ajusta tu selección de \( n \) si es necesario!