Nello spazio vettoriale $$ \mathbf{V}_{3} $$ dei vettori geermetrici elello spazio, sia $$ \mathcal{B}=\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} $$ una fissata base ortonormale, e siano vati i vettori $$ \vec{n}=\vec{i}-\vec{j}-\vec{k} \quad \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k} $$ Allora: A. i we्ttori $$ \vec{u}, \vec{v}, 3 \vec{u} \wedge \vec{v} $$ costituiscono una base di $$ V_{3} $$ B. i vettori $$ \vec{v} $$ e $$ \vec{v} $$ individuano un angolo acuto C. $$ \vec{v} \cdot \vec{w}-\|\vec{q} \times \vec{v}\|=1+2 \sqrt{2} $$ D. i vettori $$ \vec{u} $$ e $$ \vec{v} $$ individuano un parallelogramma di area $$ \sqrt{2} $$

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Vamos a analizar cada afirmación paso a paso, considerando los vectores dados:

- **Vectores dados:**
  $$
  \vec{n} = \vec{i} - \vec{j} - \vec{k}, \quad \vec{v} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}
  $$
  Asumiremos que $$\vec{u} = \vec{n}$$ para interpretar las afirmaciones correctamente.

---

### A. Los vectores $$\vec{u}, \vec{v}, 3 \vec{u} \wedge \vec{v}$$ constituyen una base de $$ V_{3} $$

- **Cálculo del producto vectorial ($$\wedge$$ denota el producto cruzado):**
  $$
  \vec{u} \times \vec{v} = (\vec{i} - \vec{j} - \vec{k}) \times (\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}) = -2\vec{j} + 2\vec{k}
  $$
  Multiplicando por 3:
  $$
  3 (\vec{u} \times \vec{v}) = -6\vec{j} + 6\vec{k}
  $$
  
- **Independencia lineal:**
  Dado que $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ no son colineales y su producto cruzado es no nulo, los tres vectores $$\vec{u}, \vec{v}, 3 \vec{u} \wedge \vec{v}$$ son linealmente independientes y, por lo tanto, forman una base de $$ V_{3} $$.

**Conclusión:** **Verdadera.**

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### B. Los vectores $$\vec{v}$$ y $$\vec{v}$$ determinan un ángulo agudo

- **Análisis:**
  Si interpretamos la afirmación literalmente, está considerando el ángulo entre $$\vec{v}$$ y sí mismo, que es 0 grados. Sin embargo, 0 grados no se considera un ángulo agudo (los ángulos agudos están entre 0° y 90° de forma estricta).

**Conclusión:** **Falsa.**

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### C. $$\vec{v} \cdot \vec{w} - \|\vec{q} \times \vec{v}\| = 1 + 2\sqrt{2}$$

- **Análisis:**
  No se proporcionan definiciones para los vectores $$\vec{w}$$ y $$\vec{q}$$ en el enunciado. Por lo tanto, no es posible evaluar esta afirmación con la información dada.

**Conclusión:** **No determinable.**

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### D. Los vectores $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ determinan un paralelogramo de área $$\sqrt{2}$$

- **Cálculo del área del paralelogramo:**
  $$
  \text{Área} = \|\vec{u} \times \vec{v}\| = \| -2\vec{j} + 2\vec{k} \| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
  $$
  
- **Comparación:**
  El área calculada es $$2\sqrt{2}$$, no $$\sqrt{2}$$.

**Conclusión:** **Falsa.**

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**Resumen de las afirmaciones:**

- **A:** Verdadera.
- **B:** Falsa.
- **C:** No determinable.
- **D:** Falsa.
A es verdadera, B es falsa, C no se puede determinar, y D es falsa.

Nello spazio vettoriale dei vettori geermetrici elello spazio, sia una fissata base ortonormale, e siano vati i vettori

Allora:
A. i we्ttori costituiscono una base di
B. i vettori e individuano un angolo acuto
C.
D. i vettori e individuano un parallelogramma di area

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Nello spazio vettoriale dei vettori geermetrici elello spazio, sia una fissata base ortonormale, e siano vati i vettori Allora: A. i we्ttori costituiscono una base di B. i vettori e individuano un angolo acuto C. D. i vettori e individuano un parallelogramma di area