Nello spazio vettoriale \( \mathbf{V}_{3} \) dei vettori geermetrici elello spazio, sia \( \mathcal{B}=\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} \) una fissata base ortonormale, e siano vati i vettori \[ \vec{n}=\vec{i}-\vec{j}-\vec{k} \quad \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k} \] Allora: A. i we्ttori \( \vec{u}, \vec{v}, 3 \vec{u} \wedge \vec{v} \) costituiscono una base di \( V_{3} \) B. i vettori \( \vec{v} \) e \( \vec{v} \) individuano un angolo acuto C. \( \vec{v} \cdot \vec{w}-\|\vec{q} \times \vec{v}\|=1+2 \sqrt{2} \) D. i vettori \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) individuano un parallelogramma di area \( \sqrt{2} \)

Vamos a analizar cada afirmación paso a paso, considerando los vectores dados: - **Vectores dados:** \[ \vec{n} = \vec{i} - \vec{j} - \vec{k}, \quad \vec{v} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k} \] Asumiremos que \(\vec{u} = \vec{n}\) para interpretar las afirmaciones correctamente. --- ### A. Los vectores \(\vec{u}, \vec{v}, 3 \vec{u} \wedge \vec{v}\) constituyen una base de \( V_{3} \) - **Cálculo del producto vectorial (\(\wedge\) denota el producto cruzado):** \[ \vec{u} \times \vec{v} = (\vec{i} - \vec{j} - \vec{k}) \times (\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}) = -2\vec{j} + 2\vec{k} \] Multiplicando por 3: \[ 3 (\vec{u} \times \vec{v}) = -6\vec{j} + 6\vec{k} \] - **Independencia lineal:** Dado que \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) no son colineales y su producto cruzado es no nulo, los tres vectores \(\vec{u}, \vec{v}, 3 \vec{u} \wedge \vec{v}\) son linealmente independientes y, por lo tanto, forman una base de \( V_{3} \). **Conclusión:** **Verdadera.** --- ### B. Los vectores \(\vec{v}\) y \(\vec{v}\) determinan un ángulo agudo - **Análisis:** Si interpretamos la afirmación literalmente, está considerando el ángulo entre \(\vec{v}\) y sí mismo, que es 0 grados. Sin embargo, 0 grados no se considera un ángulo agudo (los ángulos agudos están entre 0° y 90° de forma estricta). **Conclusión:** **Falsa.** --- ### C. \(\vec{v} \cdot \vec{w} - \|\vec{q} \times \vec{v}\| = 1 + 2\sqrt{2}\) - **Análisis:** No se proporcionan definiciones para los vectores \(\vec{w}\) y \(\vec{q}\) en el enunciado. Por lo tanto, no es posible evaluar esta afirmación con la información dada. **Conclusión:** **No determinable.** --- ### D. Los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) determinan un paralelogramo de área \(\sqrt{2}\) - **Cálculo del área del paralelogramo:** \[ \text{Área} = \|\vec{u} \times \vec{v}\| = \| -2\vec{j} + 2\vec{k} \| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] - **Comparación:** El área calculada es \(2\sqrt{2}\), no \(\sqrt{2}\). **Conclusión:** **Falsa.** --- **Resumen de las afirmaciones:** - **A:** Verdadera. - **B:** Falsa. - **C:** No determinable. - **D:** Falsa.