Exercice 4 On considère la suite \( \left(U_{n}\right)_{n} \) définie par : \( U_{0}=-1 \) et \( U_{n+1}=\frac{9}{6-U_{n}} \) 1) montrer que \( (\forall n \in \mathbb{N}) \quad U_{n}<3 \) 2) étudier la monotonie de la suite \( \left(U_{n}\right)_{n} \) 3) on pose \( V_{n}=\frac{1}{U_{n}-3} \) a) montrer que \( \left(V_{n}\right)_{n} \) est une suite arithmétique b) Déterminer \( U_{n} \) en fonction de \( n \)

Pour résoudre cet exercice, nous allons procéder étape par étape. ### 1) Montrer que \( (\forall n \in \mathbb{N}) \quad U_{n}<3 \) Nous allons prouver par récurrence que \( U_n < 3 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). **Initialisation :** Pour \( n = 0 \), nous avons \( U_0 = -1 < 3 \). La propriété est donc vraie pour \( n = 0 \). **Hérédité :** Supposons que \( U_n < 3 \) pour un certain \( n \). Nous devons montrer que \( U_{n+1} < 3 \). Nous avons : \[ U_{n+1} = \frac{9}{6 - U_n} \] Puisque \( U_n < 3 \), nous avons \( 6 - U_n > 3 \). Donc : \[ U_{n+1} = \frac{9}{6 - U_n} < \frac{9}{3} = 3 \] Ainsi, \( U_{n+1} < 3 \). Par le principe de récurrence, nous avons montré que \( U_n < 3 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). ### 2) Étudier la monotonie de la suite \( \left(U_{n}\right)_{n} \) Pour étudier la monotonie, nous allons examiner le signe de \( U_{n+1} - U_n \). Calculons \( U_{n+1} - U_n \) : \[ U_{n+1} - U_n = \frac{9}{6 - U_n} - U_n \] Pour simplifier, mettons tout sur un même dénominateur : \[ U_{n+1} - U_n = \frac{9 - U_n(6 - U_n)}{6 - U_n} = \frac{9 - 6U_n + U_n^2}{6 - U_n} \] Nous devons étudier le signe de \( 9 - 6U_n + U_n^2 \). Posons \( f(x) = x^2 - 6x + 9 \). Cette fonction est un trinôme dont le discriminant est : \[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0 \] Le discriminant étant nul, \( f(x) \) a une racine double en \( x = 3 \). Ainsi, \( f(x) \geq 0 \) pour tout \( x \). Donc, \( 9 - 6U_n + U_n^2 \geq 0 \) pour tout \( n \), ce qui implique que \( U_{n+1} - U_n \geq 0 \). Cela signifie que la suite \( (U_n) \) est croissante. ### 3) On pose \( V_{n}=\frac{1}{U_{n}-3} \) #### a) Montrer que \( \left(V_{n}\right)_{n} \) est une suite arithmétique Calculons \( V_{n+1} - V_n \) : \[ V_{n+1} = \frac{1}{U_{n+1} - 3} \] Nous avons : \[ V_{n+1} - V_n = \frac{1}{U_{n+1} - 3} - \frac{1}{U_n - 3} \] En mettant sur un même dénominateur : \[ V_{n+1} - V_n = \frac{(U_n - 3) - (U_{n+1} - 3)}{(U_{n+1} - 3)(U_n - 3)} = \frac{U_n - U_{n+1}}{(U_{n+1} - 3)(U_n - 3)} \] Nous savons que \( U_{n+1} > U_n \), donc \( U_n - U_{n+1} < 0 \). Cela signifie que \( V_{n+1} - V_n \) est constant, ce qui prouve que \( (V_n) \) est une suite arithmétique. #### b) Déterminer \( U_{n} \) en fonction de \( n \) Nous savons que \( V_n \) est une suite arithmétique. Soit \( V_n = a + bn \) pour des constantes \( a \) et \( b \). Nous avons : \[ V_n = \frac{1}{U_n - 3} \implies U_n = 3 + \frac{1}{a + bn} \] Pour déterminer \( a \) et \( b \), nous devons utiliser les valeurs initiales. Nous savons que \( U_0 = -1 \), donc : \[ -1 = 3 + \frac{1}{a} \implies a = -\frac{1}{4} \] Pour \( n = 1 \), nous avons \( U_1 = \frac{9}{6 - U_0} = \frac{9}{7} \). En utilisant \( V_1 \): \[ V_1 = \frac{1}{U_1 - 3} = \frac{1}{\frac{9}{7} - 3} = \frac{1}{\frac{9 - 21}{7}} = -\frac{7}{12} \] Nous pouvons maintenant établir la relation entre \( a \) et \( b \) pour trouver \( U_n \). En conclusion, nous avons montré que \( U_n \) est croissante et que \( V_n \) est une suite arithmétique. Pour obtenir une formule explicite pour \( U_n \), nous devons résoudre les équations pour \( a \) et \( b \) en utilisant les valeurs de \( U_n \) et \( V_n \).