Considera il triangolo \( A B C \) di vertici \( A(-3 ; 3) \), \( B(1 ;-3), C(3 ; 1) \). Calcola la lunghezza dell'altezza relativa al lato \( A B \) e l'area del triangolo. \( \left[\frac{14 \sqrt{13}}{13} ; 14\right] \)

Per calcolare l'altezza relativa al lato \( AB \) e l'area del triangolo \( ABC \), iniziamo con la lunghezza del lato \( AB \). Il punto \( A(-3, 3) \) e il punto \( B(1, -3) \) sono dati. La lunghezza \( AB \) può essere calcolata usando la formula della distanza: \[ AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \] Ora troviamo l'area del triangolo usando la formula determinant: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Dove i punti \( A(-3, 3) \), \( B(1, -3) \), e \( C(3, 1) \) sono \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \), e \( (x_3, y_3) \) rispettivamente. Sostituendo i valori: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| -3(-3 - 1) + 1(1 - 3) + 3(3 + 3) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -3(-4) + 1(-2) + 3(6) \right| = \frac{1}{2} \left| 12 - 2 + 18 \right| = \frac{1}{2} \left| 28 \right| = 14 \] Infine, per trovare l'altezza relativa al lato \( AB \), usiamo la formula: \[ h = \frac{2 \times \text{Area}}{AB} \] \[ h = \frac{2 \times 14}{2\sqrt{13}} = \frac{28}{2\sqrt{13}} = \frac{14}{\sqrt{13}} = \frac{14 \sqrt{13}}{13} \] Quindi, l'altezza relativa al lato \( AB \) è \( \frac{14 \sqrt{13}}{13} \) e l'area del triangolo è \( 14 \).