Aufgabe: \( (2 \) Punkte) Bestimme den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}(0|10| 11) \) von der Ebene \( \mathrm{E}:-3 x_{2}-4 x_{3}=-24 \). Gib einen weiteren Punkt Q an, der den gleichen Abstand zu E hat.

Um den Abstand des Punktes \( P(0|10|11) \) von der Ebene \( E: -3x_2 - 4x_3 = -24 \) zu berechnen, verwenden wir die Formel für den Abstand eines Punktes \( (x_0, y_0, z_0) \) von der Ebene \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \[ \text{Abstand} = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Zunächst bringen wir die Gleichung der Ebene in die Form \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \[ -3x_2 - 4x_3 + 24 = 0 \quad \Rightarrow \quad A = 0, \ B = -3, \ C = -4, \ D = 24 \] Jetzt setzen wir die Koordinaten von Punkt \( P(0|10|11) \) in die Formel ein: - \( x_0 = 0 \) - \( y_0 = 10 \) - \( z_0 = 11 \) \[ \text{Abstand} = \frac{|0 \cdot 0 + (-3) \cdot 10 + (-4) \cdot 11 + 24|}{\sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-4)^2}} \] Das ergibt: \[ = \frac{| -30 - 44 + 24 |}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{| -50 |}{5} = 10 \] Der Abstand des Punktes \( P \) von der Ebene \( E \) beträgt also \( 10 \) Einheiten. Um einen weiteren Punkt \( Q \) zu finden, der den gleichen Abstand zur Ebene hat, können wir einen Punkt verschieben, etwa entlang der Normalen der Ebene. Die Normalenvektoren sind \( (0, -3, -4) \). Ein Punkt \( Q \), der 10 Einheiten von \( P \) in Richtung der Normalen liegt, kann wie folgt berechnet werden: \[ Q(0, 10 - \frac{3}{5} \cdot 10, 11 - \frac{4}{5} \cdot 10) = (0, 10 - 6, 11 - 8) = (0, 4, 3) \] Der Punkt \( Q(0|4|3) \) hat auch einen Abstand von \( 10 \) Einheiten zur Ebene \( E \).