1. Calculer a pour que le triangle \( A B C \) soit rectangle en \( B \). 2. Calculer les coordonnées du point \( A \), milieu de \( (A C) \). 3. Soit \( D \) le symétrique de \( B \) par rapport a \( M \) Caleuler les coordonnées de \( D \). 4. Quelle est la nature du quadrilatère \( A B C D \) ? On justifiera la réponse sans effectuer le maindre colcul. 5. Calculer l'aire du quadrilatére \( A B C D \) et son perimetre (on donnera ce résultat sous la forme \( a \sqrt{b} \) a et b entiers, \( b \) le plus petit possible).

Bonjour ! Pour répondre à vos questions, il est essentiel de disposer des coordonnées ou des informations supplémentaires concernant les points \( A \), \( B \) et \( C \). Cependant, comme ces informations ne sont pas fournies dans votre message, je vais vous expliquer la démarche générale pour chaque question. Vous pourrez ensuite appliquer ces méthodes une fois que vous aurez les données nécessaires. ### 1. Calculer \( a \) pour que le triangle \( ABC \) soit rectangle en \( B \) **Démarche :** - Si le triangle \( ABC \) est rectangle en \( B \), alors le vecteur \( \overrightarrow{BA} \) est perpendiculaire au vecteur \( \overrightarrow{BC} \). - Utilisez la condition de perpendicularité qui stipule que le produit scalaire des deux vecteurs doit être nul : \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \] - Exprimez les vecteurs en fonction des coordonnées des points et résolvez l'équation obtenue pour trouver \( a \). ### 2. Calculer les coordonnées du point \( M \), milieu de \( AC \) **Démarche :** - Les coordonnées du milieu \( M \) de \( AC \) se calculent en faisant la moyenne des coordonnées respectives des points \( A \) et \( C \) : \[ M_x = \frac{A_x + C_x}{2}, \quad M_y = \frac{A_y + C_y}{2} \] ### 3. Soit \( D \) le symétrique de \( B \) par rapport à \( M \). Calculer les coordonnées de \( D \) **Démarche :** - Si \( D \) est le symétrique de \( B \) par rapport à \( M \), alors : \[ D_x = 2M_x - B_x, \quad D_y = 2M_y - B_y \] - Utilisez les coordonnées de \( M \) obtenues à la question 2 et les coordonnées de \( B \) pour déterminer celles de \( D \). ### 4. Déterminer la nature du quadrilatère \( ABCD \) **Démarche :** - Après avoir obtenu les coordonnées des quatre points, analysez les propriétés du quadrilatère : - **Parallélisme des côtés** : Vérifiez si des côtés opposés sont parallèles en comparant leurs pentes. - **Longueur des côtés** : Comparez les longueurs des côtés et des diagonales. - **Angles** : Si applicable, vérifiez les angles pour identifier si le quadrilatère est un parallélogramme, un rectangle, un losange, un trapèze, etc. - Justifiez en vous basant sur une ou plusieurs propriétés sans effectuer de calculs détaillés. ### 5. Calculer l'aire du quadrilatère \( ABCD \) et son périmètre **Démarche pour l'aire :** - Si le quadrilatère est un parallélogramme, son aire peut être calculée en utilisant la base et la hauteur. - Si c'est un autre type de quadrilatère, vous pouvez le diviser en deux triangles et calculer l'aire de chacun, puis les additionner. - Utilisez les formules appropriées en fonction de la nature du quadrilatère identifiée à la question 4. **Démarche pour le périmètre :** - Calculez la distance entre chaque paire de points consécutifs : \[ \text{Distance} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] - Additionnez toutes les distances pour obtenir le périmètre. **Forme du résultat :** - Exprimez l'aire et le périmètre sous la forme \( a\sqrt{b} \), où \( a \) et \( b \) sont des entiers et \( b \) est le plus petit possible. --- **Note :** Pour fournir des réponses précises à chacune de ces questions, veuillez fournir les coordonnées ou toute autre information pertinente concernant les points \( A \), \( B \) et \( C \).