\[ \vec{u}\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right), \vec{v}\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right) \text { et } \vec{w}\left(\begin{array}{c}0 \\ -6 \\ 3\end{array}\right) \text {. } \] 1. Justifier que le vecteur \( \vec{w} \) n'est pas colinéaire au vecteur \( \vec{v}+\vec{u} \).

Pour montrer que le vecteur \( \vec{w} \) n'est pas colinéaire au vecteur \( \vec{v} + \vec{u} \), procédons étape par étape. 1. **Calcul de \( \vec{v} + \vec{u} \) :** \[ \vec{v} + \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 \\ -2+2 \\ 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] 2. **Définition de la colinéarité :** Deux vecteurs sont colinéaires s'il existe un scalaire \( \lambda \) tel que : \[ \vec{w} = \lambda (\vec{v} + \vec{u}) \] 3. **Recherche du scalaire \( \lambda \) :** \[ \vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{v} + \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Donc, nous avons les équations suivantes pour chaque composante : \[ 0 = 2\lambda \quad (1) \] \[ -6 = 0\lambda \quad (2) \] \[ 3 = 0\lambda \quad (3) \] 4. **Résolution des équations :** - De l'équation (1) : \( \lambda = 0 \) - De l'équation (2) : \( -6 = 0 \times 0 = 0 \), ce qui est impossible. - De l'équation (3) : \( 3 = 0 \times 0 = 0 \), ce qui est également impossible. 5. **Conclusion :** Comme il n'existe aucun scalaire \( \lambda \) qui satisfait toutes les équations simultanément, les vecteurs \( \vec{w} \) et \( \vec{v} + \vec{u} \) ne sont pas colinéaires. Ainsi, **le vecteur \( \vec{w} \) n'est pas colinéaire au vecteur \( \vec{v} + \vec{u} \)**.