. Fie $$ V $$ un spaţiu vectorial de dimensiune 3 peste un corp $$ K $$ şi $$ B=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} $$ o bază în $$ V $$. Fie $$ B^{*}=\left\{v^{1}, v^{2}, v^{3}\right\} $$ baza duală, $$ x=5 v_{1}+v_{2}-4 v_{3}, y=v_{1}+6 v_{3} $$ şi forma liniară $$ F=3 v^{1}+v^{2}+v^{3} $$. Să se calculeze $$ F(2 x-y) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pentru a calcula $$ F(2x - y) $$, vom urma pașii detaliat mai jos:

1. **Definirea vectorilor și a formei liniare:**
   - $$ x = 5v_1 + v_2 - 4v_3 $$
   - $$ y = v_1 + 6v_3 $$
   - $$ F = 3v^{1} + v^{2} + v^{3} $$

2. **Calcularea lui $$ 2x - y $$:**
   $$
   2x = 2(5v_1 + v_2 - 4v_3) = 10v_1 + 2v_2 - 8v_3
   $$
   $$
   2x - y = (10v_1 + 2v_2 - 8v_3) - (v_1 + 6v_3) = 9v_1 + 2v_2 - 14v_3
   $$

3. **Aplicarea formei liniare $$ F $$ asupra vectorului $$ 2x - y $$:**
   $$
   F(2x - y) = 3v^{1}(9v_1 + 2v_2 - 14v_3) + v^{2}(9v_1 + 2v_2 - 14v_3) + v^{3}(9v_1 + 2v_2 - 14v_3)
   $$
   
   Folosind proprietatea bazei duale $$ v^{i}(v_j) = \delta^i_j $$, unde $$ \delta^i_j $$ este delta lui Kronecker:
   $$
   v^{1}(9v_1 + 2v_2 - 14v_3) = 9, \quad v^{2}(9v_1 + 2v_2 - 14v_3) = 2, \quad v^{3}(9v_1 + 2v_2 - 14v_3) = -14
   $$
   
   Astfel:
   $$
   F(2x - y) = 3 \cdot 9 + 2 \cdot 1 + (-14) \cdot 1 = 27 + 2 - 14 = 15
   $$

**Răspuns:** $$ F(2x - y) = 15 $$
$$ F(2x - y) = 15 $$

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Algebra Questions