3. Résoudre les inéquations dans \( ] 0 ;+\infty[ \). (a) \( \ln (x+3)>2 \ln (x+1) \) (b) \( 3-\ln (x) \geq 7 \)

Pour résoudre les inéquations dans \( ] 0 ;+\infty[ \), procédons étape par étape. ### (a) \( \ln (x+3) > 2 \ln (x+1) \) 1. **Utiliser les propriétés des logarithmes** : \[ \ln (x+3) > \ln ((x+1)^2) \] Cela est vrai si : \[ x + 3 > (x + 1)^2 \] 2. **Développer l'inégalité** : \[ x + 3 > x^2 + 2x + 1 \] En réarrangeant, nous obtenons : \[ 0 > x^2 + 2x + 1 - x - 3 \] \[ 0 > x^2 + x - 2 \] 3. **Factoriser le trinôme** : \[ 0 > (x - 1)(x + 2) \] 4. **Analyser le signe du produit** : - Les racines de l'équation \( (x - 1)(x + 2) = 0 \) sont \( x = 1 \) et \( x = -2 \). - Nous cherchons les intervalles où le produit est négatif. Les intervalles à considérer sont \( ] -\infty, -2[ \), \( ] -2, 1[ \), et \( ] 1, +\infty[ \). En testant un point dans chaque intervalle : - Pour \( x = 0 \) (dans \( ] -2, 1[ \)) : \( (0 - 1)(0 + 2) = -1 \cdot 2 < 0 \) (négatif). - Pour \( x = 2 \) (dans \( ] 1, +\infty[ \)) : \( (2 - 1)(2 + 2) = 1 \cdot 4 > 0 \) (positif). Donc, l'inégalité est vérifiée dans l'intervalle \( ] -2, 1[ \). 5. **Conclusion** : Comme nous cherchons des solutions dans \( ] 0 ; +\infty[ \), la solution est : \[ x \in ] 0, 1[ \] ### (b) \( 3 - \ln (x) \geq 7 \) 1. **Réarranger l'inégalité** : \[ -\ln (x) \geq 7 - 3 \] \[ -\ln (x) \geq 4 \] En multipliant par -1 (ce qui inverse le sens de l'inégalité) : \[ \ln (x) \leq -4 \] 2. **Exponentier les deux côtés** : \[ x \leq e^{-4} \] 3. **Analyser la solution** : Comme nous cherchons des solutions dans \( ] 0 ; +\infty[ \), nous avons : \[ 0 < x \leq e^{-4} \] 4. **Conclusion** : La solution est : \[ x \in ] 0, e^{-4} ] \] ### Résumé des solutions : - (a) \( x \in ] 0, 1[ \) - (b) \( x \in ] 0, e^{-4} ] \)